Задача 41418 ...
Условие
Линия задана уравнением ρ = ρ(ϕ) в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, придавая ϕ значения через промежуток
π/4;
1) найти уравнение кривой в прямоугольно� системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось Ox – с
полярной осью
ρ =√2 +2 cosφ
2) Составить уравнения сторон треугольника, еcли дана его вершина A(3; −1) и уравнения медианы 6x + 10y − 59 = 0 и биссектрисы
x − 4y + 10 = 0, проведенных из различных вершин. Сделать чертеж.
Решение
ρ =2+sqrt(2)cos0=2+sqrt(2)
A(0; 2sqrt(2))
При x=π/4
ρ =2+sqrt(2)cos(π/4)=2+1=3
B(π/4; 3)
и так далее.
Угол, луч, на луче отрезок длины ρ
x= ρ cos φ ⇒ [b]cos φ[/b] =x/ ρ =[b]x/sqrt(x^2+y^2)[/b]
y= ρ sin φ
x^2+y^2= ρ ^2
ρ =2+sqrt(2)[b]cos φ[/b] ⇒ sqrt(x^2+y^2)=2+sqrt(2)*[b](x/sqrt(x^2+y^2)) [/b]⇒
x^2+y^2=2sqrt(x^2+y^2)+sqrt(2)x - уравнение в прямоугольной системе координат.
2.
Пусть B(x_(B);y_(B)); C((x_(C);y_(C))
F-середина ВС
F([m]\frac{x_{B}+x_{C}}{2}; \frac{y_{B}+y_{C}}{2}[/m];
M- точка пересечения медиан
M([m]\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}; \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}[/m])
M([m]\frac{3+x_{B}+x_{C}}{3}; \frac{-1+y_{B}+y_{C}}{3}[/m])
Так как медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то
[b]vector{AM}=2*vector{MF}[/b]
vector{AM}=([m]\frac{3+x_{B}+x_{C}}{3}-3; \frac{-1+y_{B}+y_{C}}{3} - (-1)[/m]);
vector{AM}=([m]\frac{x_{B}+x_{C}-6}{3}; \frac{2+y_{B}+y_{C}}{3}[/m]);
vector{MF}=([m]\frac{x_{B}+x_{C}}{2}-\frac{3+x_{B}+x_{C}}{3}; \frac{y_{B}+y_{C}}{2}- \frac{-1+y_{B}+y_{C}}{3} [/m]);
vector{MF}=([m]\frac{x_{B}+x_{C}-6}{6}; \frac{y_{B}+y_{C}+2}{6} [/m]);
Приравниваем покоординатно:
[m]\frac{x_{B}+x_{C}-6}{3}=2\cdot \frac{x_{B}+x_{C}-6}{6}[/m]
[m]\frac{2+y_{B}+y_{C}}{3}=2\cdot \frac{y_{B}+y_{C}+2}{6}[/m]
