Задача 43352 Прошу помочь. У меня возникли некоторые...

3bepbe

2020-01-14 16:38:38

Прошу помочь. У меня возникли некоторые проблемы с решением уравнения sqrt(sin(x)*cos(x))=cos(x). Уточню: сложности появились при записи условия - его можно было записать двумя способами. Я записал оба, но у меня получилось две разные одз. Так какое же из них верно и почему? Прошу сделать всё с объяснениями. И ещё одна просьба: проверьте решённое уравнения на наличие ошибок. Заранее спасибо.

sova

2020-01-14 16:44:57

★

ОДЗ ( cм приложение)

[b]sinx*cosx ≥ 0[/b], так как подкоренное выражение не может быть <0

Неравенство ≥ 0 включает в себя неравенство >0 и равенство =0

[i] равенство [/i]

cosx=0 , тогдa sqrt(sinx*0)=0 - [b]верно при любом х[/b], при котором cosx=0

и
[i] неравенство[/i]

sinx* cosx> 0

Теперь само уравнение.

Условие cosx ≥ 0 - это условие существования корней уравнения
Потому что при возведении в квадрат ([red] ! [/red]возможно появление посторонних корней)



Получили два уравнения

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k ∈ Z

[b]или[/b]

sinx-cosx=0 ⇒ tgx =1 ⇒ x=(π/4)+πn, n ∈ Z ⇒ исключаем корни в третьей четверти, так как

х=(π/4)+π+2πm, m ∈ Z не удовлетворяют ОДЗ

[i]Проверка:[/i]

sqrt(sin(5π/4)*cos(5π/4))=cos(5π/4) ⇒

sqrt(1/2)=-sqrt(2)/2 - неверно

Поэтому, о т в е т

[b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z [/b]

[b]x=(π/4)+[b]2[/b]πn, n ∈ Z[/b]