Задача 23135 9.3.152) Найти объем тела, ограниченного...

slava191

31.01.2018

9.3.152) Найти объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом x^2/9+y^2/3=z и плоскостью z=4

SOVA

31.01.2018

★

При z=4
(x^2/9)+(y^2/3)=4 - уравнение области D - проекции тела V на плоскость хОу.
Запишем в каноническом виде
(x^2/36)+(y^2/12)=1
V= ∫ ∫_(по обл. D)( (x^2/9)+(y^2/3))dxdy.
Применяем обобщенные полярные координаты.
х=6rcos phi
y=sqrt(12)*rsin phi

0 меньше или равно r меньше или равно 1
0 меньше или равно phi меньше или равно 2Pi

Якобиан
|J|=6sqrt(12)r

(x^2/9)+(y^2/3)=(36r^2cos^2phi/9)+(12r^2sin^2phi/12)=
=4r^2*(cos^2phi+sin^2phi)

V=6sqrt(12) ∫^(2Pi) _(0)(cos^2 phi +sin^2 phi )d phi ∫ ^(1)_(0)4r^3dr=24sqrt(3)Pi