Задача 23135 9.3.152) Найти объем тела, ограниченного...

slava191

31 января 2018 г.

9.3.152) Найти объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом x²/9+y²/3=z и плоскостью z=4

SOVA

31 января 2018 г.

★

При z=4
(x²/9)+(y²/3)=4 – уравнение области D – проекции тела V на плоскость хОу.
Запишем в каноническом виде
(x²/36)+(y²/12)=1
V= ∫ ∫_{по обл. D}( (x²/9)+(y²/3))dxdy.
Применяем обобщенные полярные координаты.
х=6rcos phi
y=√12·rsin phi

0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ phi ≤ 2π

Якобиан
|J|=6√12r

(x²/9)+(y²/3)=(36r²cos²phi/9)+(12r²sin²phi/12)=
=4r²·(cos²phi+sin²phi)

V=6√12 ∫^2π ₀(cos² phi +sin² phi )d phi ∫ ¹₀4r³dr=24√3π