Задача 15957 Точки M и N лежат на стороне АС...

slava191

22 мая 2017 г.

Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся луча АВ, если cosBAC=2√2/3

SOVA

23 мая 2017 г.

★

По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки:
АР²=AM·AN
AP=√9·32=12√2
Продолжим РО до пересечения с окружностью в точке К.
РК– диаметр
РК=2R
Пусть РК пересекает АС в точке Т.
Из прямоугольного треугольника АРТ
сos∠РАТ=АР/АТ
∠РАТ=∠ВАС
2√2/3=12√2/AT⇒ АТ=18
По теореме Пифагора
PT²=AT²–AP²=18²–(12√2)²=324–288=36
PT=6
По свойству пересекающихся хорд
МТ·TN=PT·TK
MT=AT–AM=18–9=9
TN=AN–AT=32–18=14
9·14=6·TK
TK=21
PK=PT+TK=6+21=27
PK=2R
2R=27
R=13,5
О т в е т. 13,5