Задача 41758 Правильная четырехугольная призма и...

vk139625213

20 ноября 2019 г. в 21:51

Правильная четырехугольная призма и правильная четырехугольная пирамида расположены так, что одно из оснований призмы лежит в основании пирамиды, а вершины другого основания лежат на боковых ребрах пирамиды. Какой наименьший объем может иметь пирамида, если сторона основания призмы равна а, а боковое ребро равно 2а?

sova

20 ноября 2019 г. в 23:03

Пусть сторона основания пирамиды равна x


OK=a√2/2
OA=x√2/2

AK=AO–KO=(x–a)√2/2
KF:MO= AK:AO=(x–a)/x

KF=2a

MO=(2ax)/(x–a)

МО=Н

V_{пирамиды}=(1/3)·S_осн·Н=(1/3)·x²·(2ax)/(x–a)

V_{пирамиды}=V(x)

V(x)=(2ax³)/(3·(x–a)) – функция, зависящая от переменной х

Исследуем с применением производной:

V`(x)=(6ax²·3·(x–a)–2ax³·3)/(9(x–a)²)

V`(x)=(12ax³–18a²x²)/(9(x–a)²)

V`(x)=0

12ax³–18a²x²=0

12x–18a=0

x=3a/2


Это точка минимума, так как производная меняет знак с – на +

V(3a/2)=(2a/3)·(3a/2)³/((3a/2)–a)=18a³/4=4,5a³