Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 41799 ...

Условие

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1) lim 1-2x/3x-2
x → ∞

2) lim
x → 0 (sqrt( 1+x) -sqrt( 1-x))/3x

3) lim
x → 0 1-cosx/^(5x)

4) lim ^x(((x+3)/(x-2)))
x → ∞

математика ВУЗ 1615

Решение

1) Делим и числитель и знаменатель на х:
[m]\lim_{x \to \infty }\frac{1-2x}{3x-1}=\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{1-2x}{x}}{\frac{3x-1}{x}}=\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{1}{x}-\frac{2x}{x}}{\frac{3x}{x}-\frac{1}{x}}=[/m]
[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{1}{x}-2}{3-\frac{1}{x}}=\frac{0-2}{3-0}=-\frac{2}{3}[/m]


2) Умножаем и числитель и знаменатель на
(√ 1+x +√ 1–x)

[m]\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{3x}=\lim_{x \to 0 }\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{3x\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 0}\frac{1+x-(1-x)}{3x\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\lim_{x \to 0}\frac{2x}{3x\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=[/m]

[m]\lim_{x \to 0}\frac{2}{3\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\frac{2}{3\cdot(\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0})}=\frac{1}{3}[/m]

3)
см. первый замечательный предел

[m]\lim_{x \to 0 }\frac{1-cox}{5x}=\frac{0}{0}=\lim_{x \to 0 }\frac{2\cdot sin^2\frac{x}{2}}{5x}= \lim_{x \to 0 }\frac{2\cdot sin\frac{x}{2}}{2\cdot \frac{x}{2}}\cdot sin\frac{x}{2}=1\cdot 0=0[/m]

4)

см. второй замечательный предел

[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{x+3}{x-2})^{x}=\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{x+3}{x}}{\frac{x-2}{x}})^{x}=\lim_{x \to\infty}\frac{(1+\frac{3}{x})^{x}}{(1-\frac{2}{x})^{x}}=\frac{e^{3}}{e^{-2}}=e^{5}[/m]


Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК