Задача 22469 ...
Условие
Решение
На f(x)=sin(1/x) [0;1] ограничена:
|sin(1/x)|меньше или равно 1 для любого х∈ [0;1]
Представим интеграл как сумму двух интегралов
∫ _(0)^(+ бесконечность )sin(1/x)dx=J_(1)+J_(2),
где
J_(1)=∫_(0) ^(1 )sin(1/x)dx - обычный определенный интеграл (интеграл Римана от ограниченной функции) есть число.
J_(2)=∫ _(1)^(+ бесконечность )sin(1/x)dx- [b]несобственный интеграл первого рода по бесконечному промежутку.[/b]
Считаем J_(2) по частям
u=sin(1/x) ⇒ du=(cos(1/x))*(-dx/x^2)
dv=dx ⇒ v=x
∫ _(1)^(+ бесконечность )sin(1/x)dx=x*sin(1/x)|_(1)^(+ бесконечность )+∫ _(1)^(+ бесконечность )(cos(1/x))*(dx/x^2)=
=1*sin1-lim_(x→∞)(sin(1/x))/(1/x)+∫ _(1)^(+ бесконечность )(cos(1/x))*(dx/x^2) -
lim_(x→∞)(sin(1/x))/(1/x)=1, первый замечательный предел.
cos(1/x) меньше или равно 1 на [1;+ бесконечность )
∫ _(1)^(+ бесконечность )(dx/x^2) =(-1/x)| _(1)^(+ бесконечность )=0+1 =1 - сходится, значит по признаку сравнения
∫ _(1)^(+ бесконечность )(cos(1/x))*(dx/x^2) - тоже сходится.
и
J_(2) сходящийся несобственный интеграл
Ответ. Сходится как сумма определенного и сходящегося
