Задача 43159 Найти общее и частное линейного ДУ...

vk174870624

2019-12-26 21:58:31

Найти общее и частное линейного ДУ первого порядка : [m]{y}'-\frac{2x-5}{x^{2}}*y=5[/m], y(2)=4

sova

2019-12-26 22:09:55

Решают либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной:

Метод Бернулли.
Ищут решение y в виде произведения u*v

y=u*v
y`=u`*v + u*v`

Уравнение принимает вид:

u`*v + u*v`-[m]\frac{2x-5}{x^2}[/m]u*v=5[/m]

Выносим за скобки u:

u`*v + u(v`-[m]\frac{2x-5}{x^2}[/m]v)=5

Так как функции u и v - произвольные, то выбираем их так, чтобы
v`-[m]\frac{2x-5}{x^2}[/m]v=0
тогда
u`*v =5


Осталось решить два уравнения с разделяющимися переменными

1)v`-[m]\frac{2x-5}{x^2}[/m]v=0 ⇒ [m]\frac{dv}{dx}=\frac{2x-5}{x^2}v[/m]

[m]\frac{dv}{v}= \frac{(2x-5)dx}{x^2}[/m]

Интегрируем, при этом С=0
[m]\int \frac{dv}{v}= 2\int \frac{dx}{x}-5\int \frac{dx}{x^2}[/m]

ln|v|=2ln|x|+[m]\frac{5}{x}[/m]

v=x^2*e^([m]\frac{5}{x}[/m])


Решаем второе уравнение

2)
u`*v =5

u`*x^2*e^([m]\frac{5}{x}[/m]) =5

du=5*x^(-2)*e^(-[m]\frac{5}{x}[/m])

u=e^(-[m]\frac{5}{x}[/m])+C

y=u*v=(e^(-[m]\frac{5}{x}[/m])+C)*x^2*e^([m]\frac{5}{x}[/m])

y=x^2+C*x^2*e^([m]\frac{5}{x}[/m]) - общее решение.


Подставляем вместо х=2;вместо y=4
находим С и получаем частное решение