Задача 50880 ...

viki127

19 мая 2020 г. в 21:19

log₂(x–1) + log₂(x² + 1/(x–1)) ≤ 2log₂((x² + x – 1)/2)

sova

19 мая 2020 г. в 21:27

ОДЗ:
[m]\left\{\begin{matrix} x-1>0\\ x^2+\frac{1}{x-1}>0 \\ \frac{x^2+x-1}{2}>0\end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x>1\\ x>1 \\ x<\frac{-1-\sqrt{5}}{2};x>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.[/m]


x ∈ (1;+ ∞ )

[m]log_{2}(x-1)\cdot(x^2+\frac{1}{x-1}) ≤ log_{2}(\frac{x^2+x-1}{2})^2[/m]


[m]log_{2}((x-1)\cdot x^2+1) ≤ log_{2}(\frac{x^2+x-1}{2})^2[/m]


Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

[m](x-1)\cdot x^2+1 ≤ (\frac{x^2+x-1}{2})^2[/m]

[m](x-1)\cdot x^2+1 ≤ \frac{(x^2)^2+2\cdot x^2(x-1)+(x-1)^2}{4}[/m]


[m] \frac{(x^2)^2+2\cdot x^2(x-1)+(x-1)^2}{4}-(x-1)\cdot x^2-1 ≥ 0[/m]

[m] \frac{(x^2)^2+2\cdot x^2(x-1)+(x-1)^2-4(x-1)\cdot x^2-4}{4} ≥ 0[/m]


[m] (x^2)^2-2\cdot x^2(x-1)+(x-1)^2-4 ≥ 0[/m]

[m] (x^2-(x-1))^2-2^2 ≥ 0[/m]

[m] (x^2-x+1-2)(x^2-x+1+2) ≥ 0[/m]

[m] (x^2-x-1)(x^2-x+3) ≥ 0[/m]

x²–x+3 >0 при любом х , так как D<0

x²–x–1 ≥ 0

D=1+4=5

x₁=[m]\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/m]; x₂=[m]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/m]

x < x₁ или x > x₂

C учетом ОДЗ получаем ответ:

О т в е т. [[m]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/m];+ ∞ )