Задача 37453 1) sqrt(3)cos^2x-0,5sin2x = 0 2) Выч....
Условие
2) Выч. площадь.
3) log2(x-1)+log2(x-3) < 3
4) Решить систему ...
5) Найдите наибольший возможный объем конуса, периметр осевого сечения которого равен 8 дм.
Решение
sin2x=2sinx*cosx
sqrt(3)cos^2x-sinx*cosx=0
cosx*(sqrt(3)cosx-sinx)=0
cosx=0 или sqrt(3)cosx-sinx=0
cosx=0 ⇒ x= [b](π/2)+πn, n ∈ Z[/b]
sqrt(3)cosx-sinx=0 ⇒ sinx/cosx=sqrt(3) ⇒ tgx=sqrt(3)
x= [b](π/3)+πk , k ∈ Z[/b]
Положительные корни: π/3; π/2;
Отрицательные (π/2)-π=-π/2; (π/3)-π=-2π/3
2.
Находим абсциссы точек пересечения графиков
-0,5x^2+2x=0,5x
-0,5x^2+2x-0,5x=0
-0,5x^2+1,5x=0
0,5x*(x-1,5)=0
x_(1)=0; x_(2)=1,5
S= ∫^(1,5)_(0) (-0,5x^2+2x-0,5x)dx= ∫^(1,5)_(0) (-0,5x^2+1,5x)dx=
=(-0,5*(x^3/3)+1,5*(x^2/2))|^(1,5)_(0)=
=(-1,5^3/6)+(3/4)*1,5^2= считаем самостоятельно.
3.
{x-1>0
{x-3>0
{log_(2)(x-1)*(x-3) <3 ⇒ log_(2)(x^2-4x+3)<log_(2)8
{x>3
{x^2-4x+3<8 ⇒ x^2-4x-5 <0 D=16=20=36; корни (-1) и 5
{x>3
{-1 < x < 5
О т в е т. [b](3;5)[/b]
4.
1=log_(3)3
1+log_(3)(x+2y)=log_(3)3 + log_(3)(x+2y)=log_(3)3*(x+2y)=log_(3)(3x+6y)
3^(log_(3)(3*x+6y))=[ основное логарифмическое тождество]=3x+6y
{3x+6y=6x ⇒ 6y=3x ⇒ x=2y
{3^(x^2-2y)=(3^(2))^(0,5x) ⇒ 3^(x^2-2y)=(3^(x) ⇒ x^2-2y=x
{x=2y
{(2y)^2-2y=2y ⇒4y^2-4y=0 ⇒ 4y*(y-1)=0 ⇒
y=0 или y=1
x=0 или х=2
(0;0) не удовлетворяем условию, так как log_(3)(0+2*0) не существует
О т в е т. (2;1)
5.
Пусть L - образующая конуса, r- радиус основания, H- высота конуса.
Р_(осевого сечения)=L+L+2r=2L+2r
По условию
P_(осевого сечения)=8
2L+2r=8
L+r=4
L=4-r
По теореме Пифагора
H^2=L^2-r^2=(4-r)^2-r^2=16-8r+r^2-r^2=16-8r
H=sqrt(16-8r)
V=(1/3)S_(осн.)*Н=(1/3)*π*r^2*sqrt(18-8r)
V(r)=(π/3)*r^2sqrt(16-8r)=(π/3)*sqrt(16r^4-8r^5)
Функция V(r) принимает наибольшее значение, когда
g(r)=16r^4-8r^5 принимает наибольшее значение
g`(r)=64r^3-40r^4
g`(r)=0
64r^3-40r^4=0
r^3*(64-40r)=0
r=0 не удовл условию задачи.
64-40r=0
r=64/40=16/10=1,6
1,6 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
V(1,6)=(π/3)*1,6^2sqrt(16-8*1,6)= считаем самостоятельно....