Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 44871 Решите уравнение 1 + log9(x+1)2 =...

Условие

Решите уравнение 1 + log9(x+1)2 = log3(3x+9) [Ларин 5]

математика 10-11 класс 2508

Решение

[red]ОДЗ:[/red]
{(x+1)^2>0 ⇒ x ≠ -1
{3x+9>0 ⇒ x>-3

[red]x ∈ (-3;-1)U(-1;+ ∞ )[/red]

Так как
log_(3)(3x+9)=log_(3)(3*(x+3))=log_(3)3+log_(3)(x+3)=1+log_(3)(x+3)

[i]уравнение принимает вид:[/i]

log_(9)(x+1)^2=log_(3)(x+3)

[i]Применяем свойство[/i]:

[r]log_(a^(k))b^(n)=(n/k)log_(a)b, a>0; b>0 a ≠ 1[/r]

[red]log_(9)(x+1)^2[/red]=log_(3^2)(x+1)^2=(2/2)log_(3)|x+1|=[red]log_(3)|x+1|[/red]

Знак модуля, так как формула верна при a>0; b>0 a ≠ 1

[i]Уравнение принимает вид:[/i]

[b]log_(3)|x+1|=log_(3)(x+3)[/b]

На основании свойства монотонности логарифмической функции

аргументы равны:

|x+1|=x+3

Так как х+3 >0

возводим в квадрат

x^2+2x+1=x^2+6x+9
-4x=8
x=-2
-2 ∈[red] (-3;-1)U(-1;+ ∞ )[/red]

О т в е т. -2
===============

PS
после того как получено уравнение

log_(9)(x+1)^2=log_(3)(x+3)

лучше [i]применить свойство[/i]

[r]log_(a^(k))b^(n)=(n/k)log_(a)b, a>0; b>0 a ≠ 1[/r]

к правой части ( так как согласно ОДЗ: (x+3) > 0 ):

log_(3)(x+3)=log_(3^2)(x+3)^2=log_(9)(x+3)^3

Тогда получаем уравнение:

[b]log_(9)(x+1)^2=log_(9)(x+3)^2 ⇒ [/b]

(х+1)^2=(x+3)^2

(x+1)^2-(x+3)^2=0

(x+1-x-3)*(x+1+x+3)=0
-2*(2x+4)=0

2x+4=0

x=[b]-2[/b]




Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК