{(x+1)^2>0 ⇒ x ≠ -1
{3x+9>0 ⇒ x>-3
[red]x ∈ (-3;-1)U(-1;+ ∞ )[/red]
Так как
log_(3)(3x+9)=log_(3)(3*(x+3))=log_(3)3+log_(3)(x+3)=1+log_(3)(x+3)
[i]уравнение принимает вид:[/i]
log_(9)(x+1)^2=log_(3)(x+3)
[i]Применяем свойство[/i]:
[r]log_(a^(k))b^(n)=(n/k)log_(a)b, a>0; b>0 a ≠ 1[/r]
[red]log_(9)(x+1)^2[/red]=log_(3^2)(x+1)^2=(2/2)log_(3)|x+1|=[red]log_(3)|x+1|[/red]
Знак модуля, так как формула верна при a>0; b>0 a ≠ 1
[i]Уравнение принимает вид:[/i]
[b]log_(3)|x+1|=log_(3)(x+3)[/b]
На основании свойства монотонности логарифмической функции
аргументы равны:
|x+1|=x+3
Так как х+3 >0
возводим в квадрат
x^2+2x+1=x^2+6x+9
-4x=8
x=-2
-2 ∈[red] (-3;-1)U(-1;+ ∞ )[/red]
О т в е т. -2
===============
PS
после того как получено уравнение
log_(9)(x+1)^2=log_(3)(x+3)
лучше [i]применить свойство[/i]
[r]log_(a^(k))b^(n)=(n/k)log_(a)b, a>0; b>0 a ≠ 1[/r]
к правой части ( так как согласно ОДЗ: (x+3) > 0 ):
log_(3)(x+3)=log_(3^2)(x+3)^2=log_(9)(x+3)^3
Тогда получаем уравнение:
[b]log_(9)(x+1)^2=log_(9)(x+3)^2 ⇒ [/b]
(х+1)^2=(x+3)^2
(x+1)^2-(x+3)^2=0
(x+1-x-3)*(x+1+x+3)=0
-2*(2x+4)=0
2x+4=0
x=[b]-2[/b]