Задача 44871 Решите уравнение 1 + log9(x+1)2 =...

Решите уравнение 1 + log₉(x+1)2 = log₃(3x+9) [Ларин 5]

ОДЗ:
{(x+1)²>0 ⇒ x ≠ –1
{3x+9>0 ⇒ x>–3

x ∈ (–3;–1)U(–1;+ ∞ )

Так как
log₃(3x+9)=log₃(3·(x+3))=log₃3+log₃(x+3)=1+log₃(x+3)

уравнение принимает вид:

log₉(x+1)²=log₃(x+3)

Применяем свойство:

log₉(x+1)²=log_3²(x+1)²=(2/2)log₃|x+1|=log₃|x+1|

Знак модуля, так как формула верна при a>0; b>0 a ≠ 1

Уравнение принимает вид:

log₃|x+1|=log₃(x+3)

На основании свойства монотонности логарифмической функции

аргументы равны:

|x+1|=x+3

Так как х+3 >0

возводим в квадрат

x²+2x+1=x²+6x+9
–4x=8
x=–2
–2 ∈ (–3;–1)U(–1;+ ∞ )

О т в е т. –2
===============

PS
после того как получено уравнение

log₉(x+1)²=log₃(x+3)

лучше применить свойство



к правой части ( так как согласно ОДЗ: (x+3) > 0 ):

log₃(x+3)=log_3²(x+3)²=log₉(x+3)³

Тогда получаем уравнение:

log₉(x+1)²=log₉(x+3)² ⇒

(х+1)²=(x+3)²

(x+1)²–(x+3)²=0

(x+1–x–3)·(x+1+x+3)=0
–2·(2x+4)=0

2x+4=0

x=–2