Задача 32499 адание 2. Найти производную функции u в...

vk283092839

2018-12-29 15:47:49

адание 2. Найти производную функции u в точке М по направлению, идущему от этой точки к точке P.u = xz^2/y + xzy^2 + y/z^4; M(1, 1, -1); P(7, -2, 1)

sova

2018-12-30 11:19:22

∂u/∂MP=(∂u/∂x)(M)*cos α + (∂u/∂y)(M)*cos β +((∂u/∂z)(M)*cos γ

Находим частные производные:
∂u/∂x=u`_(x)=(xz^2/y)`_(x) + (xzy^2)`_(x) + (y/z^4)`_(x)=

= (z^2/y)*x`+(zy^2)*x`+0=

=(z^2/y) + zy^2;


∂u/∂y=u`_(y)=(xz^2/y)`_(y) + (xzy^2)`_(y) + (y/z^4)`_(y)=

=xz^2*(1/y)` + xz*(y^2)`+(1/z^4)*y`=

=xz^2*(-1/y^2) + 2xz*y+(1/z^4)


∂u/∂y=u`_(z)=(xz^2/y)`_(z) + (xzy^2)`_(z) + (y/z^4)`_(z)=

=(x/y)*(z^2)`+(xy^2)*(z)`+(y)*(z^(-4))`=

=(2xz/y)+(xy^2)-4yz^(-5).

Находим значения частных производных в точке M(1;1;-1):

(∂u/∂x) (M)= u`_(x)(M)=((-1)^2/1) + (-1)*1^2=0

(∂u/∂y) (M) = u`_(y)(M)=1*(-1)^2*(-1/1^2) + 2*1*(-1)*1+(1/(-1)^4)= -2

(∂u/∂z) (M) = u`_(z)(M)=(2*1*(-1)/1)+(1*1^2)-4*1*(-1)^(-5)=

= - 2 + 1 + 4 = 3

Находим координаты вектора
vector{MP}=(7-1;-2-1;1-(-1))=(6;-3;-2)
и его длину
|vector{MP}|=sqrt(6^2+ (-3)^2+(-2)^2)=sqrt(49)=7
Находим направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =6/7
cos β =-3/7
cos γ =-2/7

О т в е т.
∂u/∂MP(M)=(∂u/∂x) (M)*cos α +(∂u/∂y) (M)*cos β +(∂u/∂z) (M)*cos γ =

=0*(6/7)-2*(-3/7)+3*(-2/7) =[b] 0 [/b]