Задача 49529 ...

missdiana

7 мая 2020 г. в 12:39

a) Решите уравнение 15^{cos x} = 3^{cos x} ⋅ 5^{sin x};

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π; 13π/2].

sova

7 мая 2020 г. в 12:51

★

15=3·5

15^cosx=(3·5)^cosx=3^cosx·5^cosx


3^cosx·5^cosx=3^cosx·5^sinx

Переносим влево и раскладываем на множители !


3^cosx·5^cosx–3^cosx·5^sinx=0

3^cosx·(5^cosx–5^sinx)=0

3^cosx >0 при любом х, показательная функция принимает только положительные значения, график любой показательной функции выше оси Ох!)

5^cosx–5^sinx=0

5^cosx=5^sinx ⇒ cosx=sinx

Это однородное тригонометрическое уравнение

Делим на cosx ≠ 0

tgx=1

x=(π/4)+πk, k ∈ Z

б)(π/4)+5π=21π/4 ∈ [5π;13π/2]=[20π/4; 26π/4]
(π/4)+6π=25π/4 ∈∈ [5π;13π/2]=[20π/4; 26π/4]


20π/4 < 21π/4<26π/4

20π/4 < 25π/4<26π/4