Задача 49529 ...

missdiana

2020-05-07 12:39:59

a) Решите уравнение 15^(cos x) = 3^(cos x) ⋅ 5^(sin x);

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π; 13π/2].

sova

2020-05-07 12:51:27

★

15=3*5

15^(cosx)=(3*5)^(cosx)=3^(cosx)*5^(cosx)


3^(cosx)*5^(cosx)=3^(cosx)*5^(sinx)

Переносим влево и раскладываем[b] на множители ![/b]


3^(cosx)*5^(cosx)-3^(cosx)*5^(sinx)=0

3^(cosx)*(5^(cosx)-5^(sinx))=0

3^(cosx) >0 при любом х, показательная функция принимает только положительные значения, график любой показательной функции выше оси Ох!)

5^(cosx)-5^(sinx)=0

5^(cosx)=5^(sinx) ⇒ cosx=sinx

Это однородное тригонометрическое уравнение

Делим на cosx ≠ 0

tgx=1

[b]x=(π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

б)(π/4)+5π=[b]21π/4[/b] ∈ [5π;13π/2]=[20π/4; 26π/4]
(π/4)+6π=[b]25π/4[/b] ∈∈ [5π;13π/2]=[20π/4; 26π/4]


20π/4 < [b]21π/4[/b]<26π/4

20π/4 < [b]25π/4[/b]<26π/4