Задача 36850 ...

loginova

9 мая 2019 г. в 12:36

Помогите решить интеграл ∫ dx/((x–1)· √1+x–x²) через метод замены

sova

11 мая 2019 г. в 09:43

Замена
1/(x–1)=t

x–1=1/t
d(x–1)=d(1/t) ⇒ dx=–dt/t²

x–1=1/t ⇒ x=(1/t) +1
1+х–х²=1+(1/t) +1 –((1/t)+1)² ⇒

1+x–x²=1–(1/t)–(1/t²)=(t²–t–1)/t²

Тогда

∫ dx/(x–1)·√1+x–x²= ∫ (–dt/t²)/ ((1/t)·√t²–t–1/t )=

=– ∫ dt/(t²–t–1)=

выделяем полный квадрат

t²–t+1=(t–(1/2))²–(5/4)

=– ∫ dt/√(t–(1/2))²–(5/4)= – ln|t – (1/2)+√t²–t–1|+С, где

t=1/(x–1)

=–ln|1/(x–1) –(1/2) + √(1/(x–1))²–(1/(x–1))–1|+C=

=–ln|(1/(x–1) – (1/2) + √(1–(x–1)–(x–1)²)/(x–1)|+C=

= –ln|1/(x–1) – (1/2) + √(1+x–x²)/(x–1)|+C