Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 36850 ...

Условие

Помогите решить интеграл ∫ dx/((x-1)* sqrt(1+x-x^2)) через метод замены

математика ВУЗ 884

Все решения

Замена
1/(x-1)=t

x-1=1/t
d(x-1)=d(1/t) ⇒ dx=-dt/t^2

x-1=1/t ⇒ x=(1/t) +1
1+х-х^2=1+(1/t) +1 -((1/t)+1)^2 ⇒

1+x-x^2=1-(1/t)-(1/t^2)=(t^2-t-1)/t^2

Тогда

∫ dx/(x-1)*sqrt(1+x-x^2)= ∫ (-dt/t^2)/ [b]([/b](1/t)*sqrt(t^2-t-1)/t [b])[/b]=

=- ∫ dt/(t^2-t-1)=

выделяем полный квадрат

t^2-t+1=(t-(1/2))^2-(5/4)

=- ∫ dt/sqrt((t-(1/2))^2-(5/4))= [b]- ln|t - (1/2)+sqrt(t^2-t-1)|+С[/b], где

t=1/(x-1)

=-ln|1/(x-1) -(1/2) + sqrt((1/(x-1))^2-(1/(x-1))-1)|+C=

=-ln|(1/(x-1) - (1/2) + sqrt((1-(x-1)-(x-1)^2)/(x-1))|+C=

= [b]-ln|1/(x-1) - (1/2) + sqrt((1+x-x^2)/(x-1))|+C
[/b]

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК