Задача 34859 Построить график функции y = f (x) ,...

olga1007

2019-03-24 11:36:24

Построить график функции y = f (x) , используя общую схему исследования
функции.

sova

2019-03-24 12:19:27

★

Область определения
(- ∞ ;-1) U(-1;+ ∞ )

[b]x=-1 - вертикальная асимптота[/b]
так как

lim_(x→-1)f(x)= ∞

Горизонтальной асимптоты нет
lim_(x→ ∞)f(x)= ∞

Есть [b]наклонная асимптота[/b]
k=lim_(x→ ∞)f(x)/x= lim_(x→ ∞) (2x^2+x+1)/(x*(x+1))=2

b=lim_(x→ ∞)(f(x)-kx)=lim_(x→ ∞) ((2x^2+x+1)/(x+1) - 2x)=

=lim_(x→ ∞) ((2x^2+x+1-2x^2-2x)/(x+1)==lim_(x→ ∞) (-x+1)/(x+1)=-1

[b]y=2x-1[/b]

[b]Исследование функции с помощью первой производной[/b]

y`=((2x^2+x+1)`*(x+1)-(x+1)`*(2x^2+x+1))/(x+1)^2

y`=((4x+1)*(x+1)-(2x^2+x+1))/(x+1)^2

y`=(2x^2+4x)/(x+1)^2

y`=0

2x^2+4x=0

2x*(x+2)=0

x=0 или x=-2

Отмечаем точки на области определения:

_+__ (-2) _-__ (-1) __-_ (0) __+__

y`>0 функция возрастает на (- ∞ ;-2) U(0;+ ∞ )
y`< 0 функция убывает на (-2;-1) U(-1;0 )

х=-2 - точка максимума y(-2)=-7
х=0 - точка минимума y(0)=1

[b]Исследование функции с помощью второй производной[/b]

y``=((4x+4)*(x+1)^2-2(x+1)*(2x^2+4))/(x+1)^4

y``=((4x+4)*(x+1)-2*(2x^2+4))/(x+1)^3

y``=4/(x+1)^3

y``>0 на (-1;+ ∞ )

кривая выпукла вниз

y``<0 на (- ∞;-1 )

кривая выпукла вверх

точек перегиба нет