Задача 34859 Построить график функции y = f (x) ,...

olga1007

24 марта 2019 г. в 11:36

Построить график функции y = f (x) , используя общую схему исследования
функции.

sova

24 марта 2019 г. в 12:19

★

Область определения
(– ∞ ;–1) U(–1;+ ∞ )

x=–1 – вертикальная асимптота
так как

lim_x→–1f(x)= ∞

Горизонтальной асимптоты нет
lim_{x→ ∞}f(x)= ∞

Есть наклонная асимптота
k=lim_{x→ ∞}f(x)/x= lim_{x→ ∞} (2x²+x+1)/(x·(x+1))=2

b=lim_{x→ ∞}(f(x)–kx)=lim_{x→ ∞} ((2x²+x+1)/(x+1) – 2x)=

=lim_{x→ ∞} ((2x²+x+1–2x²–2x)/(x+1)==lim_{x→ ∞} (–x+1)/(x+1)=–1

y=2x–1

Исследование функции с помощью первой производной

y`=((2x<sup>2</sup>+x+1)`·(x+1)–(x+1)`·(2x²+x+1))/(x+1)²

y`=((4x+1)·(x+1)–(2x²+x+1))/(x+1)²

y`=(2x²+4x)/(x+1)²

y`=0

2x²+4x=0

2x·(x+2)=0

x=0 или x=–2

Отмечаем точки на области определения:

_+__ (–2) _–__ (–1) __–_ (0) __+__

y`>0 функция возрастает на (– ∞ ;–2) U(0;+ ∞ )
y`< 0 функция убывает на (–2;–1) U(–1;0 )

х=–2 – точка максимума y(–2)=–7
х=0 – точка минимума y(0)=1

Исследование функции с помощью второй производной

y``=((4x+4)·(x+1)²–2(x+1)·(2x²+4))/(x+1)⁴

y``=((4x+4)·(x+1)–2·(2x²+4))/(x+1)³

y``=4/(x+1)³

y``>0 на (–1;+ ∞ )

кривая выпукла вниз

y``<0 на (– ∞;–1 )

кривая выпукла вверх

точек перегиба нет