Задача 35305 sqrt(1-cosx) + sqrt(cos(x/2 + Pi/2)) =...
Условие
Решение
1-cosx=2sin^2(x/2)
По формулам приведения
cos((x/2)+(π/2))=-sin(x/2)
Уравнение принимает вид:
sqrt(2sin^2(x/2))+sqrt(-sin(x/2))=sqrt(2)
[b]ОДЗ[/b]: -sin(x/2) ≥ 0 ⇒ sin(x/2)≤ 0
π+2πk ≤(x/2) ≤2π +2πk, k ∈ Z
[b]2π+4πk ≤x ≤4π +4πk, k ∈ Z[/b]
Уравнение:
sqrt(2)|sin(x/2)|+sqrt(-sin(x/2))=sqrt(2)
В условиях ОДЗ
|sin(x/2)|=-sin(x/2)
sqrt(2)(-sin(x/2))+sqrt(-sin(x/2))=sqrt(2)
sqrt(-sin(x/2))=t
(-sin(x/2))=t^2
sqrt(2)t^2+t-sqrt(2)=0
D=1-4*sqrt(2)*(-sqrt(2)=9
t_(1)=(-1-3)/2sqrt(2)=-sqrt(2); t_(2)=(-1+3)/2sqrt(2)=sqrt(2)/2
Обратный переход:
sqrt(-sin(x/2))=- sqrt(2) не имеет смысла, противоречит определению арифметического квадратного корня
sqrt(-sin(x/2))=sqrt(2)/2
Возводим в квадрат
-sin(x/2)=1/2
sin(x/2)=-1/2
(x/2)=(-1)^(n)arcsin(-1/2)+πn, n ∈ Z
(x/2)=(-1)^(n)*(-π/6)+2πn, n ∈ Z
x=(-1)^(n)*(-π/3)+4πn, n ∈ Z
ОДЗ удовлетворяют корни n=2m
x=(-π/3)+8πm, m∈ Z
О т в е т. [b] (-π/3)+8πm, m∈ Z[/b]