Задача 47260 Окружность, проходящая через вершины A,B...

saffsg

2020-04-15 23:23:46

Окружность, проходящая через вершины A,B и C параллелограмма ABCD, пересекает прямые AD и CD в точках M и N соответственно. Точка М удалена от вершин B,C и D на расстояния 4,3 и 2 соответственно. Найдите MN.

sova

2020-04-16 09:21:34

Четырехугольник АВСМ вписан в окружность, значит суммы противоположных углов составляют 180 °

∠ МСВ+ ∠ ВАМ=180 °

∠ СВА + ∠ ВАМ=180 ° - сумма углов, прилежащих к стороне АВ параллелограмма


⇒ ∠ МСВ= ∠ СВА

BC||AD ⇒ Четырехугольник АВСМ - равнобедренная трапеция.

СM=AB=CD=[b]3[/b]

BM- диагональ равнобедренной трапеции

BM[b]=4[/b]


Из точки D к окружности проведены две секущие.
Значит, по свойству секущих

[b]DM[/b]*DA=DN*[b]DC[/b]

DA:DN=DC:DM=3:2

Δ DMN~ ΔACD так как угол D - общий и стороны пропорциональны.

⇒ AC:MN=3:2

AC=BM=4 как диагонали равнобедренной трапеции


MN=[b]8/3[/b]