Задача 28165 (2sinx+b)sinx+0,5cos2x+b=0 Найдите все...
Условие
Найдите все значения b, при которых уравнение будет иметь хотя бы 1 корень на промежутке (0;pi/2)
Все решения
2sin^2x+bsinx+(1/2)*(1-2sin^2x)+b=0
sin^2x+bsinx+(1/2)=0
или
2sin^2x+2bsinx+1=0
sinx=t
Получаем квадратное уравнение
2t^2+2bt+1=0
D=4b^2-8
При D=0, т.е. при 4b^2=8;
b^2=2
b= ± sqrt(2)
уравнение имеет один корень
t=-b/2
или
при b=sqrt(2)
t=-sqrt(2)/2
Уравнение
sinx=-sqrt(2)/2 не имеет корней на (0;Pi/2)
при b=-sqrt(2)
t=sqrt(2)/2
уравнение
sinx=sqrt(2)/2 имеет один корень на (0;Pi/2)
D > 0 при b ∈ (- бесконечность; -sqrt(2))U(sqrt(2);+ бесконечность)
уравнение
2t^2+2bt+1=0
будет иметь два корня
(-b ± sqrt(b^2-2))/2
Обратная замена приводит к двум уравнениям
sinx=(-b-sqrt(b^2-2))/2 или sinx=(-b+sqrt(b^2-2)/2
Для ответа на вопрос необходимо, чтобы одно уравнение имело решение на (0;Pi/2), а второе нет.
Есои очень нужно, то найдете границы возможного b самостоятельно