Задача 30233 решить задачу : найти все значения а при...

u21387156141

2018-10-15 13:52:57

решить задачу : найти все значения а при каждом из которых уравнение (x^2+x+a)^2=2x^4+2(x+a)^2 имеет единственное решение на отрезке от 0 до 2,включая концы.

sova

2018-10-15 14:49:50

(x^2+(x+a))^2=2x^4+2*(x+a)^2
Раскрываем скобки:
x^4+2*x^2*(x+a)+(x+a)^2=2x^4+2*(x+a)^2
x^4-2*x^2*(x+a)+(x+a)^2=0
(x^2-(x+a))^2=0
x^2-x-a=0
Квадратное уравнение.
Решаем графически.

График y=x^2-x-a - парабола, ветви вверх.

Чтобы парабола пересекала ось Ох в единственной точке отрезка [0;2] необходимо выполнение условий:
1)
{f(0) ≥ 0 ⇒ 0^2 -0 - a ≥0 ⇒ a≤0
{f(2) < 0 ⇒ 2^2 - 2 - a <0 ⇒ a>2

нет пересечения множеств a≤0 и a > 2

2)
{f(0) < 0 ⇒ -a < 0 ⇒ a > 0
{f(2) ≥ 2 ⇒ a ≤ 2
(0;2]

См. рисунок.
Парабола должна быть расположена примерно так, как на рисунке.

О т в е т. (0;2]