Задача 29570 Нужна помощь в решении двух...

fox99

2018-09-10 21:35:19

Нужна помощь в решении двух дифференциальных уравнений.

sova

2018-09-10 21:49:57

★

1) Делим и числитель и знаменатель дроби справа на х

y`=(y/x)/(1-(y/x))

Замена
y/x=u
y=ux
y`=u`*x+u*x` (x`=1, так как х - независимая переменная)

u`*x+u=u/(1-u)
u`*x=(u/(1-u))-u;
u`*x=u^2/(1-u) - уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

(u-1)du/u^2=dx/x

Интегрируем
ln|u|+(1/u)=ln|x| + lnC

(lnCx/u)=1/x

или

Cx^2/y=e^(1/x) - общее решение данного уравнения


2)Делим на х

y`=(y/x)ln(y/x))

Замена
y/x=u
y=ux
y`=u`*x+u*x` (x`=1, так как х - независимая переменная)

u`*x+u=ulnu
u`*x=u*(lnu-1) - уравнение с разделяющимися переменными

du/(u(lnu-1))=dx/x

Интегрируем
ln|lnu-1|=lnx+C

ln|y/x| -1 = Cx - общее решение

y(1)=1

ln|1|-1=C*1 ⇒ C=-1

ln|y/x| -1 = -x - частное решение