Задача 12114 Дано уравнение (sinx+sin3x)/cosx = 1 А)...
Условие
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [1/4; 13/4]
Решение
Все решения
A)
ОДЗ: cosx≠0
(sinx+sin3x)=cosx
2*sin((x+3x)/2)*cos((x-3x)/2)=cosx
2sin2x*cos(-x)=cosx
cos(-x)=cosx
2sin2x*cosx=cosx
2son2x*cosx-cosx=0
cosx*(2sin2x-1)=0
cosx≠0 cм. ОДЗ
2sin2x=1
sin2x=1/2
2x=(π/6)+2πk, k∈Z 2x=(5π/6)+2πn, n∈Z
x=(π/12)+πk, k∈Z x=(5π/12)+πn, n∈Z
О т в е т. А) (π/12)+πk,(5π/12)+πn, k, n∈Z
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [1/4; 13/4]
Рассмотрим два неравенства
1) 1/4 < (π/12)+πk < 13/4, k∈Z
2) 1/4 < (5π/12)+πn < 13/4 , n∈Z
Умножаем на 4
1) 1 < (π/3)+4πk < 13, k∈Z
2) 1 < (5π/3)+4πn < 13 , n∈Z
При k < 0 корни уравнения отрицательные и потому не будут принадлежать отрезку [1/4; 13/4]
k=0 1 < (π/3) < 13- верно, так как π > 3 и π/3 > 1
k=1 1 < (π/3)+4π < 13 - неверно, так как
(π/3)+4π=13*(π/3) > 13
При n < 0 корни уравнения отрицательные и потому не будут принадлежать отрезку [1/4; 13/4]
n=0 1 < (5π/3) < 13 - верно
5 < 5*(π/3) < 10
n=1 1 < (5π/3)+4π < 13 - неверно
(5π/3)+4π=17*(π/3) > 17
Корни уравнения, принадлежащие указанному промежутку
при k=0 и n=0 это
х=(π/12) и x=5π/12