Задача 33792 Решить уравнения sqrt(3x+1) + sqrt(x) =...
Условие
sqrt(3x+1) + sqrt(x) = 11
sqrt(9-x) - sqrt(4-x) = 2
Решить неравенства
sqrt(3x-2) > x-2
sqrt(x^2+2x) > -3-x^2
Решение
ОДЗ:
{3x+1 ≥ 0
{x ≥ 0
ОДЗ: x ≥ 0
Возводим в квадрат
3х+1 + 2*sqrt(3x+1)*sqrt(x)+x=121;
2*sqrt(3x+1)*sqrt(x)=120-4x
sqrt(3x+1)*sqrt(x)=60-2x
в ОДЗ этого уравнения дополнительно к имеющимся надо включить неравенство:
60-2x≥ 0 ⇒ x ≤30
Поэтому
ОДЗ: [b][0;30][/b]
(3x+1)*x=3600- 240x+4x^2;
3x^2+x=3600- 240x+4x^2;
x^2-241x+3600=0
D=241^2-4*3600=58081 - 14400=43681=209^2
x_(1)=(241-209)/2 =16 или х_(2)=(241+209)/2=225
x_(2)>30 не входит в дополнительное ОДЗ
О т в е т. 16
6.
ОДЗ:
{9-x ≥0 ⇒ x ≤ 9
{4 -x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4
ОДЗ: (-∞;4]
Перепишем:
sqrt(9-x)=2+sqrt(4-x)
Возводим в квадрат
9-x=4+4sqrt(4-x)+4-x
4sqrt(4-x)=1
sqrt(4-x)=1/4
4-x=1/16
x=4-(1/16)
x=3 целых (15/16) входит в ОДЗ
О т в е т. 3 целых (15/16)
7. Решить иррациональное неравенство
sqrt(3x-2)> x-2
Рассматриваем два случая:
(1)
если
x-2 <0⇒ x < 2,
то при условии существования подкоренного выражения
3x-2 ≥ 0⇒ x ≥ 2/3
неравенство верно, при любом х ∈ [2/3; 2)
неотрицательное выражение слева > отрицательного справа
(2)
если
x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
Возводим обе части в квадрат
(3 х-2) ≥ (х - 2 )^2 ( условие 3x-2 ≥ 0 не пишем, оно получается автоматически : (3 х-2) ≥ (х - 2 )^2 ≥ 0)
3x-2 ≥ x^2- 4x + 4
x^2 - 7x +6 ≤ 0
D=49-24=25
x_(1)=(7-5)/2=1 ; x_(1)=(7+5)/2=6
Решение неравенства
1 ≤ х ≤ 6
С учетом x ≥ 2
ответ (2): [2;6]
Объединяем ответы (1) и (2) случаев
[2/3; 2)U[2;6]=[2/3;6]
8. Решить иррациональное неравенство
sqrt(x^2+2x) > -3-x^2
Так как
-3 - x^2 <0⇒ x^2+3 > 0 - верно при любом х
тогда при условии существования подкоренного выражения, т. е при
x^2+2x ≥ 0⇒ x*(x+2) ≥ 0⇒ x ≤ -2 или x≥ 0
неравенство верно, при любом х ∈ (-∞ ;-2] U [0;+∞ )
О т в е т. (-∞ ;-2] U [0;+∞ )