Задача 33991 В цилиндре параллельно его оси проведено...

slava55

2019-02-27 18:09:35

В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 16 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Это сечение пересекает нижнее основание по хорде, которая стягивает дугу 120°. Чему равен объём цилиндра?

sova

2019-02-27 19:05:02

★

Из прямоугольного треугольника DAK
AK=AD/2=8 - катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

H_(цилиндра)=KD
По теореме Пифагора
KD^2=AD^2-AK^2=16^2-8^2=192
H=sqrt(192)=8sqrt(3)

Треугольник АОК - равнобедренный ( ОA=ОК=R)
∠ КОА=120^(o) Это центральный угол, измеряется дугой, на которую опирается.

Проводим высоту OF в равнобедренном треугольнике, которая одновременно является и медианой и биссектрисой

AF=FK=4
∠FOA= ∠FOK=60^(o) ⇒

AO=AF/sin60^(o)=4/(sqrt(3)/2)=8sqrt(3)/3

V=S_(осн)*H=π*R^2*H=π*(8sqrt(3)/3)^2*(8sqrt(3))=

=512π