{2-x>0 ⇒ x < 2
{x>0
{log_(14)x-log_(49)x ≠ 0⇒ log_(14)x ≠ log_(49)x
Функция y=log_(14)x монотонно возрастает, значит каждое свое значение принимает в единственной точке
Функция y=log_(49)x монотонно возрастает, и тоже каждое свое значение принимает в единственной точке
Графики функции y=log_(14)x пересекается с графиком функции y=log_(49)x в точке х=1 ⇒ Значит равные значения функции принимают только в единственной точке х=1
Исключаем ее из области определения
х≠ 1
ОДЗ:
x ∈ (0;1)U(1;2)
Переходим к основанию 2.
В числителе:
log_(2)(2-x)/log_(2)4 - log_(2)(2-x)/log_(2)14=
=log_(2)(2-x) *((1/2) - 1/(log_(2)+log_(2)7))=
=log_(2)(2-x) * (1+log_(2)7-2)/(2*(1+log_(2)7))=
=log_(2)(2-x) * (log_(2)7-1)/(2*(1+log_(2)7))
В знаменателе:
log_(2)x/log_(2)14 - log_(2)x/log_92)49=
=log_(2)x*(1/(1+log_(2)7) - 1/(2log_(2)7))=
=log_(2)x*(2log_(2)7 - 1 - log_(2)7)/ (2log_(2)7*(1+log_(2)7)
Делим числитель на знаменатель.
Первую дробь умножаем на обратную второй
сокращаем на 2, на (log_(2)7-1) и на 2(1+log_(2)7)
Неравенство принимает вид:
log_(2)(2-x) * log_(2)7/log_(2)x ≤ log_(2^2)7^2
log_(2)(2-x) * log_(2)7/log_(2)x ≤(2/2) log_(2)7
log_(2)7 > 2 > 0
Делим обе части неравенства на log_(2)7
log_(2)(2-x) /log_(2)x ≤1
Применяем формулу перехода к другому основанию справа налево:
log_(x)(2-x) ≤ 1
1=log_(x)x
[b]log_(x)(2-x) ≤ log_(x)x[/b]
Если основание логарифмической функции x>1 функция возрастает,
большему значению функции соответствует большее значение аргумента
2-x ≤ x
{x>1
{2-x≤ x ⇒ 2≤2x ⇒ x ≥1
C учетом ОДЗ x ∈(1;2)
Если основание логарифмической функции 0 < x <1 функция убывает,
большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
2-x≥ x
{0<x<1
{2-x≥ x ⇒ 2≥2x ⇒ x ≤ 1
C учетом ОДЗ x ∈(0;1)
Объединяем два решения и получаем о т в е т. (0;1) U (1;2)
Можно вместо этого применить [b]метод рационализации логарифмических неравенств[/b], который позволяет заменить неравенство [b]log_(x)(2-x) ≤ log_(x)x[/b] равносильным ему на ОДЗ неравенством:
(x-1)*(2-x-x) ≤ 0
Сравните: в первой и второй системе множители
разных знаков, значит произведение множителей в обоих случаях неположительно ( < или = 0)
(x-1)*(2-2x) ≤ 0
2*(x-1)^2 ≥ 0
неравенство верно при любом х из ОДЗ
О т в е т. (0;1)U(1;2)