Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 36690 Решить неравенство (ЕГЭ профиль, 15...

Условие

Решить неравенство (ЕГЭ профиль, 15 номер)

математика 10-11 класс 2101

Все решения

ОДЗ:
{2-x>0 ⇒ x < 2
{x>0
{log_(14)x-log_(49)x ≠ 0⇒ log_(14)x ≠ log_(49)x
Функция y=log_(14)x монотонно возрастает, значит каждое свое значение принимает в единственной точке

Функция y=log_(49)x монотонно возрастает, и тоже каждое свое значение принимает в единственной точке

Графики функции y=log_(14)x пересекается с графиком функции y=log_(49)x в точке х=1 ⇒ Значит равные значения функции принимают только в единственной точке х=1

Исключаем ее из области определения
х≠ 1

ОДЗ:
x ∈ (0;1)U(1;2)


Переходим к основанию 2.

В числителе:

log_(2)(2-x)/log_(2)4 - log_(2)(2-x)/log_(2)14=

=log_(2)(2-x) *((1/2) - 1/(log_(2)+log_(2)7))=

=log_(2)(2-x) * (1+log_(2)7-2)/(2*(1+log_(2)7))=

=log_(2)(2-x) * (log_(2)7-1)/(2*(1+log_(2)7))


В знаменателе:

log_(2)x/log_(2)14 - log_(2)x/log_92)49=

=log_(2)x*(1/(1+log_(2)7) - 1/(2log_(2)7))=

=log_(2)x*(2log_(2)7 - 1 - log_(2)7)/ (2log_(2)7*(1+log_(2)7)


Делим числитель на знаменатель.
Первую дробь умножаем на обратную второй

сокращаем на 2, на (log_(2)7-1) и на 2(1+log_(2)7)


Неравенство принимает вид:

log_(2)(2-x) * log_(2)7/log_(2)x ≤ log_(2^2)7^2

log_(2)(2-x) * log_(2)7/log_(2)x ≤(2/2) log_(2)7

log_(2)7 > 2 > 0
Делим обе части неравенства на log_(2)7

log_(2)(2-x) /log_(2)x ≤1

Применяем формулу перехода к другому основанию справа налево:

log_(x)(2-x) ≤ 1

1=log_(x)x

[b]log_(x)(2-x) ≤ log_(x)x[/b]

Если основание логарифмической функции x>1 функция возрастает,
большему значению функции соответствует большее значение аргумента
2-x ≤ x

{x>1
{2-x≤ x ⇒ 2≤2x ⇒ x ≥1
C учетом ОДЗ x ∈(1;2)


Если основание логарифмической функции 0 < x <1 функция убывает,
большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
2-x≥ x

{0<x<1
{2-x≥ x ⇒ 2≥2x ⇒ x ≤ 1
C учетом ОДЗ x ∈(0;1)

Объединяем два решения и получаем о т в е т. (0;1) U (1;2)

Можно вместо этого применить [b]метод рационализации логарифмических неравенств[/b], который позволяет заменить неравенство [b]log_(x)(2-x) ≤ log_(x)x[/b] равносильным ему на ОДЗ неравенством:

(x-1)*(2-x-x) ≤ 0

Сравните: в первой и второй системе множители
разных знаков, значит произведение множителей в обоих случаях неположительно ( < или = 0)

(x-1)*(2-2x) ≤ 0

2*(x-1)^2 ≥ 0

неравенство верно при любом х из ОДЗ

О т в е т. (0;1)U(1;2)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК