Задача 42112 ...

qwertyu

2019-11-29 20:23:30

Найти пределы, используя правило Лопиталя

lim_(x → 0)(ctgx)^(sinx)

sova

2019-11-29 20:51:55

★

y=(tgx)^(sinx)

lny=ln(tgx)^sinx

По свойству логарифма степени:

lny=sinx*ln(tgx)

Находим предел

lim_(x → 0)lny=lim_(x → 0)sinx*ln(tgx)

представим произведение в виде дроби

[m]\lim_{x \to 0 }\frac{ln(tgx)}{\frac{1}{sinx}}=( \frac{\infty}{\infty})[/m]

Применяем правило Лопиталя ( второй случай)

[m]\lim_{x \to 0 }\frac{(lntgx)`}{(\frac{1}{sinx})`}=\lim_{x \to 0 }\frac{\frac{1}{tgx}\cdot(tgx)`}{()-\frac{1}{sin^2x})\cdot(sinx)`}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{tgx}\cdot\frac{1}{cos^2x}}{(-\frac{cosx}{sin^2x})}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 0 }\frac{sinx}{cos^2x}=0[/m]

[m]\lim_{x \to 0 }(tgx)^{sinx}=e^{0}=1[/m] - о т в е т