А) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью Q является прямоугольником.
Б) Найдите расстояние от точки S до плоскости Q, если известно, что SC=5, AC=6.
плоскость KMNP- плоскость Q.
AK,CP,ВН- высоты,одновременно и медианы в основании АВС.
О-центр правильного треугольника АВС.
SO- высота пирамиды.
F - проекция точки N, Е- проекция точки М.
FO=OK=r,PO=OE=r,
r- радиус вписанной в АВС окружности.
r=a√3/6=6√3/6=√3.
Прямоугольник KEFP - проекция плоскости Q на основание АВС, так как диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.
ЕК⊥РК и FP⊥PK.
По теореме о трех перпендикулярах и наклонные
МК⊥РК и NP⊥PK.
KMNP- прямоугольник.
2) Плоскость Q и плоскость SAK имеют две общие точки N и K, значит они пересекаются по прямой NK.
D- точка пересечения высоты SO и прямой NK.
ОD=NF/2=SO/4
SO²=SA²-CO²=5²-(2√3)²=13
SD=3*SO/4=3√13/4.
ОD=√13/4.
Проводим перпендикуляр ST из точки S на NK
Треугольники STD и DOK подобны по двум углам.
OK:ST=DK:SD
DK²=DO²+OK²=(√13/4)²+(√3)²=(13/16)+3=61/16
d=ST=OK•SD/DK=3√39/√61