Задача 29881 Найдите все значения параметров a и b,...

aut835

2018-09-30 18:27:19

Найдите все значения параметров a и b, при которых найдутся два различных корня уравнения x^(3) − 5x^(2) + 7x = a, которые будут также корнями уравнения x^(3) − 8x + b = 0.

sova

2018-10-03 18:27:36

★

Общие корни уравнений будут и корнями разности этих уравнений
x^3-5x^2+7x-a - (x^3-8x+b)=0;
-5x^2 +15x - a - b = 0.

Умножаем это уравнение на х:
-5x^3+15x^2-ax-bx=0
Умножаем второе на 5
5x^3-40x+5b=0
Складываем:
15x^2-40x-ax-bx+5b=0

Умножаем
-5x^2 +15x - a - b = 0.
на 3

-15x^2 +45x - 3a - 3b = 0.
и
15x^2-40x-ax-bx+5b=0
складываем

5х-ax-bx-3a+2b=0
(5-a-b)x=3a-2b получили линейное уравнение.
Оно имеет решения при
5-a-b=0
3a-2b=0

a=5-b
3*(5-b)-2b=0 b=3
a=2

Значит при а=2 и b=3 уравнение

-5x^2 +15x - a - b = 0

имеет два корня.
А потому и данные уравнения имеют два общих корня ( третьи отличаются друг от друга)
О т в е т. При а=2; b=3