Задача 19162 Треугольник ABC построен на векторах...

slava191

07.11.2017

Треугольник ABC построен на векторах vector{AB}=5vector{p}+7vector{q}, vector{AC}=vector{p}+3vector{q}, где |vector{p}|=3, |vector{q}|=1, угол между vector{p} и vector{q} = 60 градусов.

Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону vector{AB}, б) косинус угла между стороной vector{AB} и медианой vector{AM}

SOVA

07.11.2017

★

S( Δ АВС)= 1/2 S( параллелограмма)

S( параллелограмма)=| [vector{AB},vector{AC}]|=

=|[(5vector{p}+7vector{q}),(vector{p}+3vector{q})]=

=|5*[vector{p},vector{p}]+7*[vector{q},vector{p}]+15*[vector{p},vector{q}]+21*[vector{q},vector{q}]|=

=|5*0+8|[vector{p},vector{q}]|+21*0=

=|8*|vector{p}|*|vector{q}|*sinPi/3|=

=8*3*sqrt(3)/2=12sqrt(3)

S( Δ АВС)= 6sqrt(3)

S ( Δ АВС)= (1/2)*АВ*H

|AB|^2=vector{AB}*vector{AB}=
=(5vector{p}+7vector{q},5vector{p}+7vector{q})=

=25vector{p}*vector{p}+70*vector{p}*vector{q}+49*vector{q}*vector{q}=

=25*|vector{p}|*|vector{p}|cos 0 градусов +70*/vector{p}|*|vector{q}|*cos 60 градусов+49*|vector{q}|*|vector{q}|*cos0 градусов=

=25*3*3cos0+70*3*1*cos 60 градусов+49*1*1*cos0=
=379

|AB|=sqrt(379)

H=2S( Δ АВС)/АВ=12sqrt(3)/sqrt(379)

б) Медиана треугольника - половина диагонали параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС и выходящая из вершины А.

А эта диагональ - сумма векторов АВ и АС.

Поэтому

vector{AM}=(1/2)*vector{AB}+(1/2)*vector{AC}=
=3vector{p}+5vector{q}

|AM|^2=vector{AM}*vector{AM}=
=(3vector{p}+5vector{q},3vector{p}+5vector{q})=

=9vector{p}*vector{p}+30*vector{p}*vector{q}+25*vector{q}*vector{q}=

=9*|vector{p}|*|vector{p}|cos 0 градусов +30*|vector{p}|*|vector{q}|*cos 60 градусов+25*|vector{q}|*|vector{q}|*cos0 градусов=

=9*3*3cos0+30*3*1*cos 60 градусов+25*1*1*cos0=
=151

|AB|=sqrt(151)


cos(vector{AM},vector{AB})=vector{AM}*vector{AB}/|vector{AM}|*|vector{AB}|

vector{AM}*vector{AB}=(3vector{p}+5vector{q},5vector{p}+7vector{q})=
=15*3*3+46*3*(1/2)+35*1*1=
=239

cos(vector{AM},vector{AB})=239/sqrt(379)*sqrt(45)=
=239/sqrt(379*45)