Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 45423 Найти высоту, опущенную из вершины...

Условие

Найти высоту, опущенную из вершины прямого угла треугольника, если известно, что его острый угол равен a и сумма катетов равна n.

математика 10-11 класс 566

Решение

( см. рис.)
Пусть один катет х, второй (n-x)
sin α =[m]\frac{x}{c}[/m] ⇒ c=[m]\frac{x}{sin\alpha}[/m]

Теорема Пифагора
x^2+(n-x)^2=[m](\frac{x}{sin\alpha})^2[/m] ⇒

x^2+n^2-2nx+x^2- [m]\frac{x^2}{sin^2\alpha}=0[/m]

(2-[m]\frac{1}{sin^2\alpha}[/m])x^2-2nx+n^2=0

Квадратное уравнение.

[m]D=(-2n)^2-4\cdot(2-\frac{1}{sin^2\alpha })\cdot n^2=4n^2(\frac{2}{sin^2\alpha }-1)=[/m]
[m]=(\frac{2n}{sin\alpha }\cdot \sqrt{2-sin^2\alpha })^2[/m]

[m]x_{1}=\frac{n+n\sqrt{\frac{2}{sin^2\alpha} }-1}{2-\frac{1}{sin^2\alpha }};[/m]

[m]x_{2}=\frac{n-n\sqrt{\frac{2}{sin^2\alpha} }-1}{2-\frac{1}{sin^2\alpha }}.[/m]

[m]x_{1}=\frac{n\cdot sin\alpha(sin\alpha+\sqrt{2-sin^2\alpha}) }{2sin^2\alpha-1 };[/m]

[m]x_{2}=\frac{n\cdot sin\alpha(sin\alpha-\sqrt{2-sin^2\alpha}) }{2sin^2\alpha -1};[/m]


Из подобия прямоугольных треугольников СКВ и АСВ получаем пропорцию
H:x=(n-x):[m]\frac{x}{sin\alpha}[/m] ⇒ H=(n-x)*sin α

подставляем х и находим Н

[m]H=(n-\frac{n\cdot sin\alpha(sin\alpha+\sqrt{2-sin^2\alpha}) }{2sin^2\alpha-1 })sin\alpha[/m]

или

[m]H=(n-\frac{n\cdot sin\alpha(sin\alpha-\sqrt{2-sin^2\alpha}) }{2sin^2\alpha-1 })sin\alpha[/m]


[m]H=n\cdot (1-\frac{ sin\alpha(sin\alpha+\sqrt{2-sin^2\alpha}) }{2sin^2\alpha-1 })sin\alpha[/m]

или

[m]H=n\cdot (1-\frac{sin\alpha(sin\alpha-\sqrt{2-sin^2\alpha}) }{2sin^2\alpha-1 })sin\alpha[/m]


[m]H=n\cdot (\frac{2sin^2\alpha-1 - sin^2\alpha+sin\alpha \sqrt{2-sin^2\alpha}) }{2sin^2\alpha-1 })sin\alpha[/m]

или

[m]H=n\cdot (\frac{2sin^2\alpha-1- sin^2\alpha-sin\alpha \sqrt{2-sin^2\alpha}) }{2sin^2\alpha-1 })sin\alpha[/m]

[m]H=n\cdot (\frac{sin^2\alpha-1 +sin\alpha \sqrt{2-sin^2\alpha}) }{2sin^2\alpha-1 })sin\alpha[/m]

или

[m]H=n\cdot (\frac{sin^2\alpha-1-sin\alpha \sqrt{2-sin^2\alpha}) }{2sin^2\alpha-1 })sin\alpha[/m]

Вопросы к решению (3)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК