Задача 39554 Для заданных функций выполните...

vk475422486

2019-09-17 17:26:01

Для заданных функций выполните следующее:
1. Найдите область определения функции и область значений функции.
2. Найдите производную данной функции, определите точки экстремума, интервалы возрастания и убывания.
3. Постройте график функции, отметьте на нем точки экстремума.

f(x)=2x^3 - 10x^2+x-1

sova

2019-09-17 17:55:41

y=2x^3-10x^2+х-1

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

Функция непрерывна, так как является многочленом

y`=6x^2-20x+1

y`=0


6x^2-20x+1=0

D=(-20)^2-4*6*1=400-24=376

x=[m]\frac{20\pm2\sqrt{89}}{6}[/m]

x_(1)=[m]\frac{20-2\sqrt{89}}{6}[/m]; x_(2)=[m]\frac{20+2\sqrt{89}}{6}[/m]

x_(1)=[m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m]; x_(2)=[m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m]

Расставляем знак производной ( y`=6x^2-20x+1 - графиком этой функции является парабола, ветви вверх, поэтому на ([m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m] ;[m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m]) производная отрицательна, на двух остальных - положительна):

__+__ ([m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m]) __-___ ([m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m]) __+__

y`>0 на (- ∞ ;[m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m]) и на ([m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m];+ ∞ ), значит функция возрастает

y`< 0 на ([m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m] ;[m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m]), значит функция убывает возрастает

х=[m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m] - точка максимума, производная меняет знак с + на -

х=[m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m] - точка минимума, производная меняет знак с - на +


y``=12x-20

y``=0

12x-20=0

x=[m]\frac{5}{3}[/m] - точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +

Функция выпукла вверх на (- ∞ ;[m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m]) и выпукла вниз на ([m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m];+ ∞ )
См. график на рис .