Задача 39554 Для заданных функций выполните...

vk475422486

17 сентября 2019 г. в 17:26

Для заданных функций выполните следующее:
1. Найдите область определения функции и область значений функции.
2. Найдите производную данной функции, определите точки экстремума, интервалы возрастания и убывания.
3. Постройте график функции, отметьте на нем точки экстремума.

f(x)=2x³ – 10x²+x–1

sova

17 сентября 2019 г. в 17:55

y=2x³–10x²+х–1

Область определения (– ∞ ;+ ∞ )

Функция непрерывна, так как является многочленом

y`=6x²–20x+1

y`=0


6x²–20x+1=0

D=(–20)²–4·6·1=400–24=376

x=[m]\frac{20\pm2\sqrt{89}}{6}[/m]

x₁=[m]\frac{20-2\sqrt{89}}{6}[/m]; x₂=[m]\frac{20+2\sqrt{89}}{6}[/m]

x₁=[m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m]; x₂=[m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m]

Расставляем знак производной ( y`=6x²–20x+1 – графиком этой функции является парабола, ветви вверх, поэтому на ([m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m] ;[m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m]) производная отрицательна, на двух остальных – положительна):

__+__ ([m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m]) __–___ ([m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m]) __+__

y`>0 на (– ∞ ;[m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m]) и на ([m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m];+ ∞ ), значит функция возрастает

y`< 0 на ([m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m] ;[m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m]), значит функция убывает возрастает

х=[m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m] – точка максимума, производная меняет знак с + на –

х=[m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m] – точка минимума, производная меняет знак с – на +


y``=12x–20

y``=0

12x–20=0

x=[m]\frac{5}{3}[/m] – точка перегиба, вторая производная меняет знак с – на +

Функция выпукла вверх на (– ∞ ;[m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m]) и выпукла вниз на ([m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m];+ ∞ )
См. график на рис .