Задача 44302 Две меньшие стороны прямоугольной...

vk429249734

2020-02-16 12:36:56

Две меньшие стороны прямоугольной трапеции равны. Три различные стороны трапеции образуют арифметическую прогрессию. Периметр трапеции равен 144 м. Какая из сторон трапеции является наибольшей? Найди все стороны трапеции.

Ответ (пиши стороны трапеции в возрастающем порядке):
первая сторона равна
м.
Вторая сторона равна
м.
Третья сторона равна
м.
Четвёртая сторона равна

sova

2020-02-16 13:32:22

ХОРОШАЯ ЗАДАЧА на арифметическую прогрессию и трапецию

Трапеция АВСД

АВ=ВС=x - меньшие стороны образуют прямой угол.

Вторая сторона x+d
Третья x+d+d=x+2d

Наибольшая сторона - основание АД.
Почему?

Проводим высоту из точки С на сторону АД

Возможны два варианта

CД=x+d; АД=х+2d

ИЛИ

CД=x+2d; АД=х+d

В прямоугольном треугольнике СКД проверяем справедливость теоремы Пифагора.

В первом случае:

x^2+(2d)^2=(x+d)^2 ⇒

x^2+4d^2=x^2+2xd+d^2 ⇒
3d^2=2xd
[b]3d=2x[/b]

Во втором случае:
x^2+d^2=(x+2d)^2 ⇒

2xd+3d^2=0

x>0; d>0 сумма двух положительных чисел равна 0, возможно когда каждое слагаемое равно 0

d=0 нет никакой прогрессии

Теперь используем условие про периметр:

x+x+(x+d)+(x+2d)=144

4x+3d=144

4x+2x=144

6x=144

x=24

d=2x/3=16

x+d=40

x+2d=56

24+24+40+56=144 - все верно

Наибольшая 56