Задача 30859 Прямая L проходит через точку M (3;-4;0)...

bolanebyla

2018-11-08 15:10:56

Прямая L проходит через точку M (3;-4;0) и точку пересечения прямой
x/2=(y-1)/-3=(z+1)/1 с плоскостью x+y-z+2=0. Найти величину угла, образованного прямой L с плоскостью 2x+y+2z-5=0.

sova

2018-11-08 16:54:15

★

Находим координаты точки N пересечения прямой
x/2=(y–1)/(–3)=(z+1)/1
с плоскостью x+y–z+2=0.

{x/2=(y–1)/(–3) ⇒ -3x= 2y - 2 ⇒ y=(-3x+2)/2
{x/2=(z+1)/1 ⇒ x=2z+2 ⇒ z=(x-2)/2
{ x+y–z+2=0 ⇒ x + (-3x+2)/2 - (x-2)/2 + 2 = 0 ⇒ 2x -3x+2-x+2+4=0

-2x=-8
x=4
y=-5
z=1

Уравнение прямой, проходящей через две точки
M (3;–4;0) и N (4; -5; 1)


(x-3)/(4-3)=(y+4)/(-5+4)=z/1

Направляющий вектор которой имеет координаты
(1:-1;1)

Угол между прямой и плоскостью находим как угол между направляющим вектором прямой с координатами (1:-1;1) и нормальным вектором плоскости 2x+y+2z–5=0 с координатами
(2;1;2)

Применяем свойства скалярного произведения:
cos φ = (1*2+(-1)*1+1*2)/(sqrt(1+1+1)*sqrt(2^2+1+2^2))=
=3/(sqrt(3)*3)=1/sqrt(3)
φ = arccos(1/sqrt(3))