Задача 44256 В треугольнике KLM (KL не равен ML)...
Условие
а) Докажите, что треугольник KLM прямоугольный
б) Найдите длины медиан LC, высоты LB и биссектрисы LA, если KL = 6, LM=8
Решение
[red] ∠ КLA= ∠ MLA[/red]
По условию
"биссектриса LA делит пополам угол между высотой LB и медианой LC"
Значит,
[green] ∠ ВLA= ∠ CLA[/green]
Поэтому
∠ KLB= [red]∠ КLA[/red]- [green]∠ ВLA[/green]
∠ MLC=[red]∠ MLA[/red]- [green]∠ CLA[/green]
∠ KLB=∠ MLC
Опишем около Δ KLM окружность.
Продолжим высоту LB, биссектрису LA и медиану MC до пересечения с окружностью, обозначим точки пересечения
P, F и D соответственно.
∠ KLB и ∠ MLC вписанные, они равны, значит и дуги, на которые они опираются тоже равны:
∪ KP= ∪ DM ⇒
PD || KM ⇒
LB ⊥ KM, LB ⊥ PD; LB это LP
LP ⊥ PD ⇒ ∠ LPD=90 °
LD - диаметр окружности
LD это медиана LC
∪ PF= ∪ FD
FC- серединный перпендикуляр с КM
С- центр окружности.
КМ - диаметр,
[b] ∠ KLM=90 ° [/b]
б) По теореме Пифагора
KM^2=6^2+8^2=100
KM=10
KC=CM=LC=5
Пусть KB=x, тогда ВМ=10-х
По теореме Пифагора из Δ KLB:
LB^2=6^2-x^2
По теореме Пифагора из Δ MLB:
LB^2=8^2-(10-x)^2
Приравниваем правые части:
6^2-x^2=8^2-(10-x)^2;
36-x^2=64-100+20x-x^2
72=20x
x=3,6
KB=3,6 ⇒ LB^2=6^2-3,6^2=(6-3,6)*(6+3,6)=4,8^2
[b]LB=4,8[/b]
LA делит сторону KM в отношении 6:8 считая от K
KA=(6/8)AM=(3/4)AM
KA+AM=10 ⇒ (3/4)AM + AM=10 ⇒ AM=40/7
KA=30/7
BA=KA-KB=(30/7)-3,6=[b]24/35[/b]
По теореме Пифагора из Δ LBA
LA^2=LB^2+BA^2=4,8^2+(24/35)^2=(24/5)^2+(24/35)^2=
считайте, найдете LA
О т в е т.
б)
LC=5
LB=4,8
LA=24sqrt(2)/7
