Задача 41850 Исследовать функцию y=(x)^2/2(x-1)...
Условие
Все решения
1) область определения функции
(-∞;1)U(1;+∞)
2) функция не является ни чётной, ни нечётной
y(-x) ≠ y(x)
y(-x) ≠ -y(x)
y(-x)=((-x)^2)/(2*(-x)-2)=-(x^2)/(2*x+2))
x=1 - вертикальная асимптота
так как
lim_(x→1+0)(x^2/(2x-2)=[b]+∞[/b]
lim_(x→1-0)(x^2/(2x-2)=[b]-∞[/b]
4)
горизонтальная асимптота
k=lim_(x→∞)(f(x))/x
[blue]k=lim_(x→∞)(x^2)/(2x^2-2x)=1/2[/blue]
b=lim_(x→∞)(f(x)-kx)
b=lim_(x→∞)(x^2/(2x-2) -(1/2)*x)=lim_(x→∞)((x^2-x*(x-1))/(2x-2)=
=lim_(x→∞)(x)/(2x-2)=1/2
y=(1/2)x+(1/2) - наклонная асимптота
5) точки пересечения с осью Ох
y=0
x^2=0
x=0
(0;0) - точка пересечения с осью Ох и осью Оу
6)
Исследование с помощью [i]первой[/i] производной
y`=((x^2)`*(2x-2)-x^2*(2x-2)`)/(2x-2)^2
y`=(2x*(2x-2)-x^2*2)/(2x-2)^2
y`=(2x^2-4x)/(2x-2)^2
y`=0
2x^2-4x=0
2x*(x-2)=0
x=0 или х=2
__+__ (0) __-__ (2) _ +___
х=0 - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -
x=2 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +
y(0)=0
y(2)=2
y`>0 при любом х∈(-∞;0)U(2;+∞)
Значит функция[i] возрастает[/i] на (-∞;0) и на (2;+∞)
y`<0 при любом х∈(0;1) U(1;2)
Значит функция[i] убывает [/i] на (0;1) и на (1;2)
7)
Исследование с помощью [i]второй[/i] производной
y``=((2x^2-4x)/(2x-2)^2)`=[b]([/b](4x-4)*(2x-2)^2-2*(2x-2)*(2x-2)`*(2x^2-4x)[b])[/b]/(2x-2)^4
y``=1/(x-1)^3
y`` >0 при x > 0, кривая выпукла вниз
y`` <0 при x <0, кривая выпукла вверх