Задача 38475 log(3-x) 1/|x| > 1...

necu

2 июля 2019 г. в 13:51

log_3–x 1/|x| > 1

sova

2 июля 2019 г. в 15:06

ОДЗ:
{1/x| > 0 ⇒ x ≠0
{3–x > 0 ⇒ x < 3
{3–x ≠ 1 ⇒ x ≠ 2

x ∈ (– ∞ ;0) U(0;2) U(2;3)

Так как

1= log_3–x (3–x) неравенство примет вид:

log_3–x 1/|x| >log_3–x(3–x)

Теперь все зависит от основания.

Первый случай.

Если основание логарифмической функции (3–х) > 1, логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
1/|x| > (3–x)
так как x≠ 0 умножаем обе части неравенства на |x|

Система (1)
{(3–x)·|x| < 1
{3–x > 1 ⇒ x < 2

на (– ∞;0)
|x|=–x неравенство примет вид: (3–х)·(–x) <1 ⇒x²–3x–1 <0
ИЛИ
на (0;2)
|x|=x неравенство примет вид: (3–х)·х <1 ⇒ x²–3x+1>0

x²–3x–1 <0 ИЛИ x²–3x+1 >0
D=9+4=13 ИЛИ D=9–4=5

x_1,2=(3 ± √13)/2 ИЛИ x_3,4=(3 ± √5)/2

x ∈ ((3–√13)/2;(3+√13)/2) ИЛИ x < (3–√5)/2 или x >(3+√5)/2
sqrt(c учетом x ∈ (– ∞;0) ИЛИ с учетом x ∈ (0;2)
о т в е т. ((3–√13)/2;0) ИЛИ о т в е т. (0;(3–√5)/2)

Объединяем ответы и получаем ответ первого случая:
((3–√13)/2;0) U (0;(3–√5)/2)

Второй случай.

Если основание логарифмической функции 0 <(3–х) <1, т.е. 2 < x <3
логарифмическая функция убывает, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
1/|x| < (3–x}
так как x≠ 0

Система (1)
{(3–x)·|x| >1
{0<3–x < 1 ⇒ 2 < x <3

|x|=x

{x²–3x+1 >0 ⇒ x < (3–√5)/2 или x >(3+√5)/2
{2<x<3

Ответ второго случая (2;(3+√5)/2)

О т в е т. Объединяем ответы первого и второго случая

((3–√13)/2;0) U (0;(3–√5)/2) U (2; (3+√5)/2)