Задача 12130 Решить систему неравенств...

u377885201

11.12.2016

Решить систему неравенств system{log(log(x)3x)(4x-1) больше или равно 0; 21^x-9*7^x-3^x+9 меньше или равно 0}

SOVA

11.12.2016

★

Второе неравенство:
21^x-9*7^x-3^x+9≤0;
(21^x-9*7^x)-(3^x-9)≤0;
7^x*(3^x-9)-(3^x-9)≤0;
(3^x-9)*(7^x-1)≤0;
решением неравенства является отрезок [0;2]

Первое неравенство:
ОДЗ:
{x > 0, x≠1;
{4x-1 > 0;
{log_(x)3x > 0, log_(x)3x≠1.
Для решения последнего неравенства применяем метод рационализации логарифмических неравенств.
log_(a)f > log_(a)1 сводится к неравенству
(a-1)*(f-1) > 0
{x > 0, x≠1;
{x > 1/4
{(х-1)*(3x-1) > 0 ⇒ (-∞;1/3)U(1;+∞)
ОДЗ: х∈(1/4; 1/3)U(1;+∞)

log_(log_(x)3x)(4x-1)≥ log_(log_(x)3x)1
Применяя метод рационализации логарифмических неравенств
(log_(x)3x-1)*(4x-1-1)≥ 0;
(log_(x)3x-1)*(4x-2)≥ 0;
1)
{log_(x)3x-1≥ 0;
{4x-2≥ 0.
2)
{log_(x)3x-1≤0;
{4x-2≤0.
Применяя метод рационализации
1)
{(x-1)(3x-х)≥ 0;
{4x-2≥ 0.
2)
{(x-1)*(3x-х)≤0;
{4x-2≤0.

1)x∈[1;+∞)
2)x∈[0;1/2)
C учетом ОДЗ:(1/4;1/3)U(1;+∞)

Пересечение решений первого и второго неравенств приводит к ответу
(1/4;1/3)U(1;2]