Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 52005 помогите решить дифференциальное...

Условие

помогите решить дифференциальное уравнение y"-2y'-y=4xe^x

предмет не задан 1413

Решение

Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''-2y'-y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k-1=0
D=4+4=8

[b]Не нравится, что sqrt(D)=2sqrt(2)[/b]

Думаю, что у Вас опечатка... ⇒ y''-2y'[red]+[/red]y=0 тогда D=0

И тогда либо
k_(1) и k_(2)= - корни действительные различные,


либо k_(1)=k_(2)=1-[blue] корни действительные кратные[/blue]

поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_(общее одн)=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x) - общее решение однородного уравнения

или
[blue]y_(общее одн)=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)x*e^(k_(1)x) [/blue]- общее решение однородного уравнения



Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение имеет вид:

y_(частное неодн)=(Аx+B)*e^(x) или [blue]y_(частное неодн)=(Аx+B)*x*e^(x)[/blue]


y`_(частное неодн) =
y``_(частное неодн)=

Подставляем в данное неоднородное уравнение:

находим А и В

y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)

- общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Написать комментарий