Задача 52005 помогите решить дифференциальное...

vk180799942

1 июня 2020 г. в 10:24

помогите решить дифференциальное уравнение y"–2y'–y=4xe^x

sova

1 июня 2020 г. в 14:53

★

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''–2y'–y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k²–2k–1=0
D=4+4=8

Не нравится, что √D=2√2

Думаю, что у Вас опечатка... ⇒ y''–2y'+y=0 тогда D=0

И тогда либо
k₁ и k₂= – корни действительные различные,


либо k₁=k₂=1– корни действительные кратные

поэтому общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_{общее одн}=C₁e^k₁x+C₂e^k₂x – общее решение однородного уравнения

или
y_{общее одн}=C₁e^k₁x+C₂x·e^k₁x – общее решение однородного уравнения



Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение имеет вид:

y_{частное неодн}=(Аx+B)·e^x или y_{частное неодн}=(Аx+B)·x·e^x


y`_{частное неодн} =
y``_{частное неодн}=

Подставляем в данное неоднородное уравнение:

находим А и В

y_{общее неодн}=у_{общее однород} +y_{частное неодн}

– общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.