Задача 33264 Решить неравенство...

leten

2019-02-04 22:36:39

Решить неравенство
[block](log(x)(2x^(-1))*log(x)(2x^2))/(log(2x)x*log(2x^(-2))x) < 40[/block]

sova

2019-02-04 22:47:47

★

ОДЗ:
{ x>0
{ x ≠ 1
{ 2x ≠ 1
{2x^(-2)≠ 1 ⇒ x^2 ≠ 2 ⇒ x ≠ ±sqrt(2)

x ∈ (0;1/2)U(1/2;1) U (1;sqrt(2))U(sqrt(2); ∞ )

log_(x)(2x^(-1))=log_(x)2-1
log_(x)(2x^2)=log_(x)2+2
log_(2x)x=1/log_(x)(2x)= 1/(log_(2)x+1)
log_(2x^(-2))x=1/log_(x)(2x^(-1))=1/(log_(2)x-1)

log_(x)2=t

Неравенство примет вид:

(t-1)(t+1)(t-2)(t+2) < 40

или

t^4 -5t^2-36 <0

D=25-4*(-36)=25+144=169

(t^2-9)*(t^2+4) <0

⇒

-3 < t < 3

-3 < log_(x)2 < 3

{log_(x)2>-3
{log_(x)2 < 3

{log_(x)2 > log_(x)x^(-3);
{log_(x)2 < log_(x)x^3

Применяем метод рационализации ( c учетом ОДЗ):
{(x-1)*(2-x^(-3))>0 ⇒ (x-1)(2x^3-1)/x^3 >0
{(x-1)*(2-x^3) <0 ⇒ (x-1)(x^3-2) > 0

{(0) __+_ (1/2) _+_ (1/∛2) _-__ (1) _+__ (sqrt(2)) ___
x∈ (0;1/2)U(1/2;(1/∛2)) U (1;+sqrt(2))U(sqrt(2); ∞ )

{(0) ___+__ (1/2) _______+_____ (1) __-__ (∛2) _+ _ (sqrt(2)) __

x∈ (0;1/2)U(1/2;1) U(∛2;sqrt(2))U(sqrt(2); + ∞ )


Пересечение множеств решений (1) и (2) и есть
О Т В Е Т

(0;1/2) U (1/2; (1/∛2)) U (∛2; sqrt(2))U(sqrt(2);+ ∞ )