Задача 37257 Найдите все значение [b]а[/b], при...

ntshmtvv

19 мая 2019 г. в 12:59

Найдите все значение а, при каждом из которых уравнение

ax²+2(a–1)x+(a–4) = 0

имеет два корня, расстояние между которыми больше 3

sova

19 мая 2019 г. в 13:15

D=(2(a–1))²–4·a·(a–4)=8a+4
Если D>0 уравнение имеет два корня.

8a+4 > 0

a> –1/2


По теореме Виета
x₁+x₂=–2(a–1)
x₁·x₂=a–4

Найдем разность

x₂–x₁


Возведем первое уравнение в квадрат

x²₁+2x₁x₂+x²₂=–2a+2

Вычтем 4x₁x₂

x²₁–2x₁x₂+x²₂=–2a+2–4x₁x₂

(х₂–х₁)²= – 2a+2 –4·(a–4)

(х₂–х₁)²= 18–6a

x₂–x₁=√18–6a

По условию

x₂–x₁>3

Значит

√18–6a > 3

18–6a > 9

6a < 9

a < 3/2


О т в е т. (–1/2; 3/2)