Задача 34671 Решите пожалуйста!!!...
Условие
Все решения
Подстановки Чебышева.
( см. приложение)
m=3;
n=2
p=-3/2
Второй случай
(m+1)/n=(3+1)/2=2 - целое.
знаменатель дроби p равен 2
Замена переменной:
1+2x^2=t^2 ⇒ x^2=(t^2-1)/2
d(x^2)=d((t^2-1)/2)
2xdx=tdt
∫ x^3*(1+2x^2)^(-3/2)dx= ∫ [b]x^2[/b](1+2x^2)^(-3/2) * x dx=
= ∫ [b]((t^2-1)/2)[/b]* t^(-3/2) * (dt/2)=
=(1/4) ∫ (t^3-t)*t^(-3)dt= (1/4) ∫ (1- t^(-2))dt=
=(1/4)t - (1/4)*(-1/t) + C=
= [b]sqrt(1+2x^2)/4 +1/(4 *sqrt(1+2x^2)) + C[/b]
P.S.
Метод замены переменной в интегралах основан на применении теоремы:
∫ f(x)dx= ∫ f( φ (t)) * φ `(t)dt
В интеграле слева- переменная х, справа - t.
Поэтому смешивать переменные под знаком интеграла не следует.
Это говорит о неумении применять замену переменной в интеграле.
Дифференциал, это не просто символ, это дифференциал функции
df(x)=f`(x)dx
Поэтому равенство
d(1+2x^2)=dt - это равенство двух дифференциалов, как и равенство
4xdx=dt
Поэтому равенства
[b]dx=dt/4x [/b]в решении быть не должно. Оно бессмысленно с точки зрения теории
дифференциального исчисления.
