Задача 30468 найти наибольший член разложения бинома...

vk503453138

23 октября 2018 г. в 20:20

найти наибольший член разложения бинома ( √5+2)¹³

sova

23 октября 2018 г. в 21:13

★

В разложении (13+1)=14 слагаемых

k–ый член бинома ( k+1–е слагаемое ) имеет вид

T_k=C^k₁₃·(√5)^k·(2^13–k)

Согласно условия задачи T_k – наибольший член разложения.
Значит должны выполняться условия:
T_k > T_k–1
и
T_k > T_k+1

{C^k₁₃·(√5)^k·2^13–k >C^k–1₁₃·(√5)^k–1·2^13–k+1
{C^k₁₃·(√5)^k·2^13–k>C^k+1₁₃·(√5)^k+1·2^13–k–1

{1/k > 2/(√5·(13–k+1) ⇒ k < 14√5/(√5+2)
{1/(13–k) > √5/(2k+2)⇒ k> (13√5–2)/(√5+2)

(13√5–2)/(√5+2)< k < 14√5/(√5+2)

умножаем дроби слева и справа на (√5–2) и числитель и знаменатель и получаем неравенство для k

69–28√5 < k < 70–28 √5;

k=7

О т в е т. C⁷₁₃·(√5)⁷·2⁶=13278000·√5