Задача 37552 Помогите пожалуйста решить...
Условие
1)y''(x–1)–y'=0,y(2)=1,y'(2)=1
2)2y''–y'=1,y(0)=0,y'(0)=1
3)y"=y'/(корень из y)
4)y''–2y'+2y=Sin(2x)
Решение
Замена
y`=p(x)
y``=p`(x)
p`*(x-1)-p=0
Уравнение с разделяющимися переменными
p`=dp/dx
(x-1)dp/dx=p
dp/p=dx/(x-1)
Интегрируем
∫dp/p= ∫ dx/(x-1)
ln|p|=ln|x-1| + lnC
ln|p|=lnC*|x-1|
[b]p=C*(x-1)[/b]
y`= C_(1)*(x-1)
y`= C_(1)*x - C_(1)
y=∫y`(x)dx=∫(C_(1)x - C_(1))dx=(C_(1)x^2/2) - C_(1)x + C_(2)
О т в е т. [b] у= (C_(1)/2)*x^2 - C_(1)x + C_(2)[/b]
4)
Решаем однородное
Составляем характеристическое уравнение
k^2-2k+2=0
D=4-8=-4
k_(1)=2-2i; k_(2)=2+2i
Корни комплексно- сопряженные
α =1; β =2
Общее решение имеет вид:
y_(одн)=e^(x)*(С_(1)cos2x+C_(2)sin2x)
Частное решение находим по правилу ( см. приложение)
y_(частное)=(Acos2x+Bsin2x)*x^(0)
y`=(Acos2x+Bsin2x)=- 2Asin2x+2Bcos2x
y``=(-2Asin2x+2Bcos2x)`
=-4Acos2x-4Bsin2x
Подставляем в данное уравнение
-4Acos2x-4Bsin2x - 2 * (-2Asin2x+2Bcos2x)+2*(Acos2x+Bsin2x)=sin2x
Приравниваем коэффициенты слева и справа. перед косинусом
и слева и справа перед синусом.
{-4А-4В+2A=0
{-4B+4A+2B=1
B=-1/10
A=2/10
y_(частное)=0,2cos2x-0,1sin2x
О т в е т. y=y_(одн)+y_(частное)= e^(x)*(С_(1)cos2x+C_(2)sin2x)+0,2cos2x-0,1sin2x
