Задача 30998 Найти общее решение дифференциального...

alekseevadaria

2018-11-13 17:32:51

Найти общее решение дифференциального уравнения:

xy''+y'=-x

sova

2018-11-13 17:58:57

★

Замена
y`=p
xp`+p=-x
p`+(1/x)p=-1 - линейной уравнение первого порядка.

Будем искать решение в виде
p(x)=u(x)*v(x)

p`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(1/х)*uv= - 1

u`*v+u[b](v`+(1/х)*v)[/b]= - 1

Поскольку u и v - произвольные, полагаем, что выражение в скобках ( выделено жирным шрифтом) равно 0

Получаем два уравнения с разделяющимися переменными

1) v`+(1/x)*v=0 ⇒ dv/v= -dx/x
Интегрируем
ln|v|=-ln|x| ⇒ v=1/x

2) u`*v+u[b]*0[/b]= - 1
v=1/x найдено в п.1)

u`*(1/x)= - 1

u`= -xdx

u= (-x^2/2) +C_(1)

p=((-x^2/2) + C_(1))(1/x)

y`=(-x^2/2) +C_(1)/x

Интегрируем
y=(-x^3/6)+C_(1)ln|x| + C_(2) - о т в е т.