Задача 27357 [m]\frac{1}{\log_{2}(x^4 - 8x^2 + 16) -...

u18539113108

5 ноября 2018 г. в 00:00

[m]\frac{1}{\log_{2}(x^4 - 8x^2 + 16) - \log^2_{2}(4 - x^2)} \leq 1.[/m]

SOVA

5 ноября 2018 г. в 00:00

★

ОДЗ:
{4–x² > 0 ⇒ –2 < x < 2
{x⁴–8x²+16 > 0 ⇒ x² ≠ 4 ⇒ x ≠ –2 и х ≠ 2
{log₂(x⁴–8x²+16)–log²₂(4–x²) ≠ 0 ( см. первое неравенство –2 < x < 2) ⇒

2log₂(4–x²)– (log₂(4–x²))² ≠ 0

log₂(4–x²)·(2–log₂(4–x²)) ≠ 0

log₂(4–x²) ≠0 и log₂ (4–x²) ≠ 2
4–x² ≠ 1 и 4–x² ≠ 2²

x ≠ ± √3 и х ≠ 0

ОДЗ: (–2; –√3) U (–√3;0) U(0;√3)U(√3;2)

(1– 2log₂(4–x²)+log₂(4–x²))/(log₂(4–x²)·(2–log₂(4–x²)) ≤ 0

(log₂(4–x²)–1)²/((log₂(4–x²)·(2–log₂(4–x²)) ≤ 0

Применяем обобщенный метод интервалов.
Нули знаменателя уже найдены ( см. ОДЗ)
Нули числителя:

log₂(4–x²)=1

4–x²=2
x²= ± √2

Расставляем знаки на ОДЗ:

(–2) _–_ (– √3) _+_ [– √2] _+₀ _+_ [√2] _+_ √3 _–_ (2)

О т в е т. (–2; – √3) U { – √2} U{ √2} U (√3;2)