Задача 10592 В треугольнике ABC биссектриса BE и...

slava191

16 октября 2016 г.

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 168. Найдите стороны треугольника ABC.

SOVA

16 октября 2016 г.

★

Прямоугольные треугольники АВК и ВКD равны по общему катету ВК и острому углу.
∠АВЕ=∠ЕВС
Тогда треугольник АВD– равнобедренный.
Пусть АВ=х, тогда ВD=x, DC=BD=x и значит ВС=2х.
Пусть ∠АВЕ=∠ЕВС=α.
Тогда
KD=BD•sinα=x•sinα
AD=2KD=2x•sinα
168=2x•sinα
sinα=84/x

Известна формула вычисления биссектрисы угла между двумя сторонами
ВЕ=2•х•(2х)•сosα/(x+2x);
168=4xcosα/3
cosα=126/x

Так как sin²α+cos²α=1, то
(84/x)²+(126/x)²=1⇒ x²=(84²+126²)
x=√(7056+15876)=42√13
АВ=42√13
ВС=84√13

cosα=126/x=126/42√13=3/√13
cos2α=2cos²α–1=2•(3/√13)²–1=5/13

По теореме косинусов из треугольника АВС
АС²=x²+(2x)²–2•x•(2x)•(5/13)
АС²=5x²–4x²•(5/13)
AC²=5•(42√13)²–4(42√13)²•(5/13)
AC²=5•(42√13)²(1–(4/13))
АС=42√13•3√5/√13=126√5.
О т в е т. 42√13; 84√13; 126√5.