Задача 31025 4.3.17 - Нати при каких значениях k...

vk502898628

2018-11-14 15:58:43

4.3.17 - Нати при каких значениях k прямая y=kx пересекает окружность x^2+y^2−8x−2y+16=0 ;касается этой окружности.

sova

2018-11-14 16:44:23

★

(x^2 -8x + 16)+(y^2 -2y + 1) = 1
(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 1

Окружность с центром в точке (4;1) и радиусом 1

Окружность касается оси Ох в точке B(4;0) см. рис.

Пусть прямая y=kx касается окружности в точке А.

А(x; kx)

Координаты точки А удовлетворяют уравнению окружности.

Подставляем их в данное уравнение

x^2 +y^2−8x−2y+16=0

x^2+(kx)^2-8x-2kx+16=0

(1+k^2)x^2-(8+2k)x + 16 = 0

D=(8+2k)^2-4*(1+k^2)*16=64 + 32k + 4k^2 - 64 -64k^2=
=32k -60k^2

При D=0 уравнение имеет один корень.
32k-60k^2=0
k*(32-60k)=0

k=0 и k=32/60=8/15
прямая касается окружности

При 0 < k < (8/15) прямая пересекается с окружностью в двух точках