Задача 19344 Числовая последовательность задана...

slava191

11.11.2017

Числовая последовательность задана формулой общего члена: a_(n) = 1/(n^2+n)

A) Найдите наименьшее значение n ,при котором a_(n) < 1/2017.

Б) Найдите наименьшее значение n, при котором сумма n первых членов этой последовательности будет больше, чем 0,99.

B) Существуют ли в данной последовательности члены, которые образуют арифметическую прогрессию?

SOVA

12.11.2017

★

A) Решаем неравенство:
1/(n^2+n) < 1/2017;
Умножаем на 2017
2017/(n^2+n) < 1;
(2017-n^2-n)/(n^+n) < 0
Умножаем на (-1)
(n^2+n-2017)/(n^2+n) > 0

Учитывая, что n - натуральное n^2+n > 0 при любом натуральном n, остается решить неравенство

n^2+n-2017 > 0

n^2+n-2017=0
D=1-4*(-2017)=1+8068=8069
89^2 < 8069 < 90^2=8100
n_(1)=(-1-sqrt(8069)/2 < 0 или n_(2)=(-1+sqrt(89)/2 > 0

44=(-1+89)/2 < n_(2) < (-1+90)/2=44,5

Неравенство верно при n > n_(2)
Значит наименьшее значение n=45.

Б)
S_(n)=1/(1+1)+1/(2^2+2)+ ....+ 1/(n^2+n)=
=1-(1/2) +(1/2)-(1/3) +...+(1/n)-(1/(n+1))=
=1-(1/(n+1))=n/(n+1)

n/(n+1) > 0,99
Умножаем обе части неравенства на 100/99:
(100n)/(99n+99) > 1
(100n-99n-99)/(99n+99) > 0
n > 99
Значит наименьшее значение n=100

В)
Пусть такая прогрессия существует, тогда
и
а_(1)=1/(k^2+k) и а_(2)1/(n^2+n) - два члена этой прогрессии.

Тогда разность этой прогрессии

d=а_(2)-а_(1)=

=(1/(n^2+n))-(1/(k^2+k))=(k^2+k-n^2-n)/(k^2+k)(n^2+n)=

=(k-n)*(k+n+1)/(k^2+k)(n^2+n)

Тогда
a_(3)=1/(n^2+n)+d

=(1/(n^2+n))+(k-n)*(k+n+1)/(k^2+k)(n^2+n)=

=(1/(n^2+n))* ( k^2+k+k^2-n^2+k-n)/(k^2+k)

a_(3) должно иметь вид 1/(m^2+m)

Нет, таких k, m, n удовлетворяющих указанным требованиям.
О т в е т.
А) n=45
Б) n=100

vadimekum

2020-04-06 01:38:52

Если кому-то интересно, есть ещё такие тройки.
[ 1/30, 1/56, 1/420]
[ 1/56, 1/110, 1/3080]
[ 1/1892, 1/3782, 1/3577772]
[ 1/5852, 1/10920, 1/81510]
[ 1/64262, 1/128522, 1/4129540382]
[ 1/1135290, 1/2118480, 1/15812552]