Задача 19344 Числовая последовательность задана...

slava191

11 ноября 2017 г. в 00:00

Числовая последовательность задана формулой общего члена: a_n = 1/(n²+n)

A) Найдите наименьшее значение n ,при котором a_n < 1/2017.

Б) Найдите наименьшее значение n, при котором сумма n первых членов этой последовательности будет больше, чем 0,99.

B) Существуют ли в данной последовательности члены, которые образуют арифметическую прогрессию?

SOVA

11 декабря 2017 г. в 00:00

★

A) Решаем неравенство:
1/(n²+n) < 1/2017;
Умножаем на 2017
2017/(n²+n) < 1;
(2017–n²–n)/(n^+n) < 0
Умножаем на (–1)
(n²+n–2017)/(n²+n) > 0

Учитывая, что n – натуральное n²+n > 0 при любом натуральном n, остается решить неравенство

n²+n–2017 > 0

n²+n–2017=0
D=1–4·(–2017)=1+8068=8069
89² < 8069 < 90²=8100
n₁=(–1–√8069/2 < 0 или n₂=(–1+√89/2 > 0

44=(–1+89)/2 < n₂ < (–1+90)/2=44,5

Неравенство верно при n > n₂
Значит наименьшее значение n=45.

Б)
S_n=1/(1+1)+1/(2²+2)+ ....+ 1/(n²+n)=
=1–(1/2) +(1/2)–(1/3) +...+(1/n)–(1/(n+1))=
=1–(1/(n+1))=n/(n+1)

n/(n+1) > 0,99
Умножаем обе части неравенства на 100/99:
(100n)/(99n+99) > 1
(100n–99n–99)/(99n+99) > 0
n > 99
Значит наименьшее значение n=100

В)
Пусть такая прогрессия существует, тогда
и
а₁=1/(k²+k) и а₂1/(n²+n) – два члена этой прогрессии.

Тогда разность этой прогрессии

d=а₂–а₁=

=(1/(n²+n))–(1/(k²+k))=(k²+k–n²–n)/(k²+k)(n²+n)=

=(k–n)·(k+n+1)/(k²+k)(n²+n)

Тогда
a₃=1/(n²+n)+d

=(1/(n²+n))+(k–n)·(k+n+1)/(k²+k)(n²+n)=

=(1/(n²+n))· ( k²+k+k²–n²+k–n)/(k²+k)

a₃ должно иметь вид 1/(m²+m)

Нет, таких k, m, n удовлетворяющих указанным требованиям.
О т в е т.
А) n=45
Б) n=100

vadimekum

6 апреля 2020 г. в 01:38

Если кому–то интересно, есть ещё такие тройки.
[ 1/30, 1/56, 1/420]
[ 1/56, 1/110, 1/3080]
[ 1/1892, 1/3782, 1/3577772]
[ 1/5852, 1/10920, 1/81510]
[ 1/64262, 1/128522, 1/4129540382]
[ 1/1135290, 1/2118480, 1/15812552]