Задача 29192 ...

slava191

02.08.2018

138. В урне содержатся белые и черные шары в отно­шении 4:1. После извлечения шара регистрируется его цвет и шар возвращается в урну. Чему равно наимень­шее число извлечений п, при котором с вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0,01?

SOVA

03.08.2018

★

Повторные испытания с двумя независимыми исходами.
Вероятность вынуть белый шар p=4/5
Вероятность противоположного события q=1/5

Найти n из того, что
P(|(m/n) - p| < 0,01)=0,95

Неравенство:
|(m/n) -p| < ε
влечет за собой
неравенство
-ε < (m/n)-p < ε;
-ε < (m-np)/n < ε
Умножаем неравенство на sqrt(n/pq):
-ε*sqrt(n/pq) < (m-np)/sqrt(npq) < ε*sqrt(n/pq)
По теореме Лапласа
P(|(m/n)-p| < ε) ≈ 2Ф(εsqrt(n/pq))

По условию
2Ф(εsqrt(n/pq))=0,95 ⇒ Ф(εsqrt(n/pq))=0,475
По таблице значений функции Лапласа
εsqrt(n/pq)=1,96

По условию
ε=0,01
p=4/5
q=1/5
pq=4/25
sqrt(pq)=2/5

0,01*sqrt(n)/(2/5)=1,96
sqrt(n)=196*(2/5)
sqrt(n)=78,4
n=(78,5)^2=6146,56
n=6147
О т в е т. ≈ 6147