Задача 27973 Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O1...

slava191

26 мая 2018 г.

Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если угол ABO1 равен 30°.

Перерешиваем: https://reshimvse.com/zadacha.php?id=536

SOVA

26 мая 2018 г.

★

Треугольник АО₁В– равнобедренный (ВО₁=АО₁=r=2)
Значит
∠ АВО₁= ∠ О₁АВ=30^o
∠ BO₁A=120^o
По теореме косинусов
АВ²=r²+r²–2·r·r·cos120^o=4+4–2·4·(–1/2)=12
AB=2 √3
Или высота равнобедренного треугольника, проведенная из вершины O₁ на сторону АВ, делит АВ пополам.
Поэтому
(1/2) АВ=r·cos30^o ( все верно в 536)
AB=2r·cos30^o

Аналогично
Треугольник АО₂В– равнобедренный (ВО₂=АО₂=R=3)

∠CАО₂=∠ ВAО₁ как вертикальные

Значит ∠ АСО₂= ∠ О₂АС=30^o
∠ СO₂A=120^o
По теореме косинусов
АС²=R²+R²–2·R·R·cos120^o=9+9–2·9·(–1/2)=27
AC=3 √3

Или как верно написано в решении 536
АС=2R·cos 30 °=3·√3

Или из подобия треугольников
АО₁B и СО₂А
AC/BC=R/r
AC=(3/2)·BC=3√3


BC=BA+AC=2 √3+3√3=5√3

S( Δ BCO₂)=(1/2)·BC·CO₂·sin30^o=(1/2)·5√3·3·(1/2)=15√3/4


Второй случай расположения окружностей.

Решение аналогично предыдущему.
Треугольник АО₁В– равнобедренный (ВО₁=АО₁=r=2)
Значит
∠ АВО₁= ∠ О₁АВ=30^o
∠ BO₁A=120^o
По теореме косинусов
АВ²=r²+r²–2·r·r·cos120^o=4+4–2·4·(–1/2)=12
AB=2 √3
Или высота равнобедренного треугольника, проведенная из вершины O₁ на сторону АВ, делит АВ пополам.
Поэтому
(1/2) АВ=r·cos30^o ( все верно в 536)
AB=2r·cos30^o

Аналогично
Треугольник АО₂В– равнобедренный (ВО₂=АО₂=R=3)

∠CАО₂=∠ ВAО₁ как вертикальные

Значит ∠ АСО₂= ∠ О₂АС=30^o
∠ СO₂A=120^o
По теореме косинусов
АС²=R²+R²–2·R·R·cos120^o=9+9–2·9·(–1/2)=27
AC=3 √3
BC=AC–AB=3 √3–2√3=√3

и потому
S( Δ BCO₂)=(1/2)·BC·CO₂·sin30^o=(1/2)·√3·3·(1/2)=3√3/4

О т в е т. 15 √3/4 или 3√3/4