Задача 48359 В равнобедренном треугольнике АВС с...

slava191

2020-04-25 16:06:05

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты ВМ и АН пересекаются в точке К, причем АК=5, КН=3. Найдите площадь треугольника АВК. (Ларин 6)

sova

2020-04-25 18:20:15

★

ВM - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника АВС
По свойству биссектрисы BK треугольника АВН:
АК:KH=AB:BН

Пусть АВ=5x; тогда ВС=3х
Треугольник АВН- прямоугольный.
По теореме Пифагора
АН^2=AB^2-BH^2=(5x)^2-(3x)^2=25x^2-9x^2=16x^2
АН=4х

AH=AK+KH=8

4х=8

х=2

Значит
АВ=ВС=10
СН=6

АН=8

S_( Δ АВН)= (1/2)АН*СН=(1/2)*8*6=24

В треугольниках АВК и ВКН общая высота, значит

S_( Δ ABK): S_( Δ КВН) = AK : KH=5:3

S_( Δ ABK)=(5/8)S_( Δ АВН)=(5/8)*24=15

О т в е т. [b]15[/b]