Задача 48359 В равнобедренном треугольнике АВС с...

slava191

25 апреля 2020 г. в 16:06

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты ВМ и АН пересекаются в точке К, причем АК=5, КН=3. Найдите площадь треугольника АВК. (Ларин 6)

sova

25 апреля 2020 г. в 18:20

★

ВM – высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника АВС
По свойству биссектрисы BK треугольника АВН:
АК:KH=AB:BН

Пусть АВ=5x; тогда ВС=3х
Треугольник АВН– прямоугольный.
По теореме Пифагора
АН²=AB²–BH²=(5x)²–(3x)²=25x²–9x²=16x²
АН=4х

AH=AK+KH=8

4х=8

х=2

Значит
АВ=ВС=10
СН=6

АН=8

S _{Δ АВН}= (1/2)АН·СН=(1/2)·8·6=24

В треугольниках АВК и ВКН общая высота, значит

S _{Δ ABK}: S _{Δ КВН} = AK : KH=5:3

S _{Δ ABK}=(5/8)S _{Δ АВН}=(5/8)·24=15

О т в е т. 15